Задача 26915 4.18) 6(sinx+cosx)-2sinx*cosx+6=0...
Условие
Решение
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
так как
sin^2x+cos^2x=1 ⇒ 2sinx*cosx=t^2-1
Уравнение принимает вид
6t-(t^2-1)+6=0
t^2-6t-7=0
D=36-4*(-7)=36+28=64=8^2
t=(6-8)/2=-1 или t=(6+8)/2=7
Обратная замена
sinx+cosx=7 - уравнение не имеет решений, так как
-1 меньше или равно sinx меньше или равно 1
-1 меньше или равно cosx меньше или равно 1
Cкладываем
-2 меньше или равно sinx+cosx меньше или равно 2
sinx+cosx=-1
cosx=sin((Pi/2)-x)
sinx+ sin((Pi/2)-x) =-1
2sin(x+(Pi/2)-x))/2 * cos(x-((Pi/2)-x))/2=-1
2sin(Pi/4) * cos(x-(Pi/4)=-1
sin(Pi/4)=sqrt(2)/2
sqrt(2)* cos(x-(Pi/4)=-1
cos(x-(Pi/4))=-1/sqrt(2)
x-(Pi/4)= ± arccos(-1/sqrt(2))+2Pin, n ∈ Z
x=(Pi/4) ±(3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. (Pi/4) ±(3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
можно записать как две серии ответов(-Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Pi+2Pin, n ∈ Z