Задача 26915 4.18) 6(sinx+cosx)-2sinx*cosx+6=0...

slava191

29 апреля 2018 г.

4.18) 6(sinx+cosx)–2sinx·cosx+6=0

SOVA

29 апреля 2018 г.

★

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin²x+2sinx·cosx+cos²x=t²
так как
sin²x+cos²x=1 ⇒ 2sinx·cosx=t²–1

Уравнение принимает вид
6t–(t²–1)+6=0
t²–6t–7=0
D=36–4·(–7)=36+28=64=8²
t=(6–8)/2=–1 или t=(6+8)/2=7


Обратная замена
sinx+cosx=7 – уравнение не имеет решений, так как
–1 ≤ sinx ≤ 1
–1 ≤ cosx ≤ 1
Cкладываем
–2 ≤ sinx+cosx ≤ 2

sinx+cosx=–1
cosx=sin((π/2)–x)

sinx+ sin((π/2)–x) =–1
2sin(x+(π/2)–x))/2 · cos(x–((π/2)–x))/2=–1
2sin(π/4) · cos(x–(π/4)=–1
sin(π/4)=√2/2

√2· cos(x–(π/4)=–1
cos(x–(π/4))=–1/√2

x–(π/4)= ± arccos(–1/√2)+2πn, n ∈ Z
x=(π/4) ±(3π/4)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. (π/4) ±(3π/4)+2πn, n ∈ Z
можно записать как две серии ответов(–π/2)+2πn, n ∈ Z
π+2πn, n ∈ Z