Задача 34310 3*2^(cosx+3sqrt(1-sin^2x))+11*2^(2cosx)-34...

slava191

9 марта 2019 г. в 12:37

3·2^{cosx+3√1–sin2x}+11·2^2cosx–34 = 0, [–π/2; 5π/2]

sova

9 марта 2019 г. в 13:05

★

1–sin²x=cos²x
√cos²x=|cosx|

3·2^cosx+3|cosx|+11·2^2cosx–34=0

Раскрываем знак модуля:
(1)
cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx

cosx+3|cosx|=cosx+3cosx=4cosx

Получаем квадратное уравнение относительно 2^2cosx
Замена переменной:
2^2cosx=t;
t>0

3·t²+11t–34=0
D=121– 4·3·(–34)=529

t₁=(–11–23)/6=–17/3 или t₁=(–11+23)/6=2

t₁ < 0

Обратная замена
2^2cosx=2
2cosx=1
cosx=1/2

1/2 > 0
удовлетворяет условию (1) раскрытия модуля: cosx ≥ 0

x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

(2)
(1)cosx < 0 ⇒ |cosx|= –cosx

cosx+3|cosx|=cosx–3cosx=–2cosx

Получаем уравнение относительно 2^2cosx
Замена переменной:
2^2cosx=t;
t>0
2^–2cosx=1/t

3/(t)+11t–34=0

11t²–34t+3=0

D=34²– 4·11·3=1156–132=1024=32²

t₁=(34–32)/22=1/11 или t₁=(34+32)/22=3

Оба корня положительны

Обратная замена
2^2cosx=1/11 или 2^2cosx=3

2cosx=log₂(1/11) или 2cosx=log₂3

cosx=(1/2)log₂(1/11) или cosx=(1/2)log₂3


log₂3 >1
(1/2)log₂3>0,5>0

не удовлетворяет условию (2) раскрытия модуля : cosx < 0

(1/2)log₂(1/11) < 0


log₂(1/11)= – log₂11

log₂11 >log₂8=3

– log₂11 < –3

(–1/2) log₂11 < –3/2

Уравнение
cosx=(1/2)log₂(1/11)

не имеет решений в силу ограниченности косинуса
|cosx| ≤ 1

О т в е т. ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Отбор корней:

Указанному отрезку принадлежат корни:
(–π/3); (π/3); (–π/3)+2π=5π/3; (π/3)+2π=7π/3