Задача 11851 Пусть АС - наибольшая сторона...

Hjuio

27.11.2016

Пусть АС - наибольшая сторона треугольника АВС. На отрезке АС выбраны точки К и М так, что AM = АВ и СК = СВ. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника КВМ, равен 8, радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен S, и эта окружность касается стороны ВС в точке Т. Найдите квадрат длины отрезка ВТ.

SOVA

27.11.2016

★

Треугольник АВМ – равнобедренный. Значит биссектриса АР – высота и медиана треугольника АВМ.
АР=РМ
AP⊥BM

Треугольник ВСК – равнобедренный. Значит биссектриса CF – высота и медиана треугольника ВСК.
BF=FK
BF⊥BK

Биссектрисы АР и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке О, О– центр вписанной окружности.
ОТ=r=5.

OF и OP – cерединные перпендикуляры к сторонам ВК и ВМ треугольника ВКМ.
Значит О – центр окружности, описанной около треугольника ВКМ.
ВО=R=8.
По теореме Пифагора из треугольника ВОТ:
ВТ^2=BO^2–OT^2=8^2–5^2=64–25=39

О т в е т. 39