Задача 29101 Все на картинке...
Условие
Все решения
{(x+2a)*(x-a)+(x-5)*(x-2)=(x-5)*(x-a)
{x ≠5
{x ≠a
Cистема имеет ед. решение, если уравнение имеет ед решение и оно удовлетворяет второму и третьему неравенствам.
Упрощаем уравнение, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение
x^2+(2a-2)x+(10-5a-2a^2)=0
1)если D =0
квадратное уравнение имеет один корень
2) если D > 0
квадратное уравнение имеет два различных корня
Итак,
1)
D=(2a-2)^2-4*(10-5a-2a^2)=4a^2-8a+4-40+20a+8a^2=
=12*(a^2+a-3)
a^2+a - 3 =0
a_(1)=(-1-sqrt(13))/2 или a_(2)=(-1+sqrt(13))/2
При a_(1) =(-1-sqrt(13))/2 и a_(2)=(-1+sqrt(13))/2 квадратное уравнение имеет один корень
x=-(a-1)
учитывая, что
х ≠ 5 и х≠a получаем
-a+1 ≠ 5 ⇒ a ≠- 4
-a+1 ≠ a ⇒ a ≠ 1/2
2)
При a < (-1-sqrt(13))/2 или a > (-1+sqrt(13))/2 уравнение имеет два корня.
x_(1)=-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) и x_(2)=-(a-1)+sqrt(3a^2+3a-9)
Один из корней должен быть исключен, значит должен удовлетворять условиям: x=5 или x=a
^(Пусть
-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) =5 ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=-a-4
⇒ 3a^2+3a-9=a^2+8a+16 ⇒2a^2-5a-25=0 ⇒ a=5 или a=-5/2
При а=5
х=13 - ед. корень
При а=-5/2
х=2 - ед. корень.
Пусть
-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) =а ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=-2a+1⇒ 3a^2+3a-9=4a^2-4a+1 ⇒a^2-7a+10=0 ⇒ a=5 или а=2
При а=5
х=13 -ед корень
При а=2
х=-4 - ед. корень)
Пусть
-(a-1)+ sqrt(3a^2+3a-9) =5 ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=a+4
⇒ 3a^2+3a-9=a^2+8a+16 ⇒2a^2-5a-25=0 ⇒ a=5 или a=-5/2
При а=5
х=13 - ед. корень
При а=-5/2
х=2 - ед. корень.
Пусть
-(a-1)+ sqrt(3a^2+3a-9) =а ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=2a-1⇒ 3a^2+3a-9=4a^2-4a+1 ⇒a^2-7a+10=0 ⇒ a=5 или а=2
При а=5
х=13 -ед корень
При а=2
х=-4 - ед. корень
О т в е т. (-1-sqrt(13))/2; (-5/2); (-1+sqrt(13))/2; 5; 2