Задача 33673 Решить интеграл dx/(x^3(x^3-3))...
Условие
Все решения
x^3*(x^3-3)=x^3*(x-∛)*(x^2+∛3*x+∛9)
Тогда подынтегральная дробь раскладывается на четыре дроби
1/(x^3*(x^3-3) = (A/x)+(B/x^2)+(D/x^3)+(F/(x-∛3) + (Mx+N)/(x^2+∛3*x+∛9)
Приводим правую часть к общему знаменателю
Получим две дроби с равными знаменателями равны.
Приравниваем числители:
1= A*(x^2)*(x^3-3)+B*x*(x^3-3) +D*(x^3-3) +F*x^3*(x^2+∛3*x+∛9)+
+(Mx+N)*x^3*(x-∛3)
1=A*x^5-3Ax^2+Bx^4-3Bx+Dx^3-3D+F*x^5+F*∛3*x^4+F*∛9x^3+
+Mx^5+Nx^4-M*∛3*x^4- N∛3*x^3
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^5
0=A+F+M
при x^4
0=B+F*∛3+N-M*∛3
при x^3
0=D+F*∛9-N*∛3
при x^2
0=-3A ⇒[b]A=0[/b]
при x^(1)
0=-3B ⇒ [b] B=0[/b]
при x^(0)
1=-3D ⇒ [b]D=-1/3[/b]
D=-1/3; B=0; A=0
подставим в первые три равенства для коэффициентов
0=F+M ⇒[b] F = - M [/b]
0=F*∛3+N-M*∛3 ⇒[b]N= 2M*∛3=-2F*∛3 [/b]
1/3=F*∛9-N*∛3 ⇒[b](1/3)= F*∛9 +2F*∛3 [/b]
F=1/(3*(∛9 +2*∛3))
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫ dx/(x^3*(x^3-3))=D∫(dx/x^3) + F∫ (dx/(x- ∛3) + ∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)
Первый интеграл
[b](1)[/b]D∫(dx/x^3) =D* ∫ x^(-3)dx=D*x^(-2)/(-2)=D/(-2x^2)=1/(6x^2) ( D=-1/3)
Второй интеграл
[b](2)[/b]F∫ (dx/(x- ∛3) =F*ln|x-∛3|, (F=1/(3*(∛9 +2*∛3)))
Третий интеграл
Выделяем полный квадрат в знаменателе
x^2+∛3*x+∛9=(x^2+2x*((∛3)/2)+(∛9)/4 -(∛9)/4 +∛9=
=(x+((∛3)/2))^2 +(3*(∛9)/4)
Замена
x+((∛3)/2)=u
dx=du
x= u - ((∛3)/2)
[b](3)[/b]
∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)=
= ∫ M*(u- ((∛3)/2) )+N)du/(u^2+(3*(∛9)/4))=
=(M/2) ∫ 2u/( (u^2+(3*(∛9)/4)) +(N-((∛3)/2) ) *(1/a)arctg (u/a)
где
M= - F = -1/(3*(∛9 +2*∛3)))
N=-2F=-2/(3*(∛9 +2*∛3)))
a^2=(3*(∛9)/4)
О т в е т. сумма трех ответов (1) + (2) + (3) + С
