Задача 33673 Решить интеграл dx/(x^3(x^3-3))...

nashipitsina

17 февраля 2019 г. в 23:26

Решить интеграл dx/(x³(x³–3))

sova

18 февраля 2019 г. в 10:21

Раскладываем знаменатель на множители:
x³·(x³–3)=x³·(x–∛)·(x²+∛3·x+∛9)

Тогда подынтегральная дробь раскладывается на четыре дроби

1/(x³·(x³–3) = (A/x)+(B/x²)+(D/x³)+(F/(x–∛3) + (Mx+N)/(x²+∛3·x+∛9)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A·(x²)·(x³–3)+B·x·(x³–3) +D·(x³–3) +F·x³·(x²+∛3·x+∛9)+

+(Mx+N)·x³·(x–∛3)

1=A·x⁵–3Ax²+Bx⁴–3Bx+Dx³–3D+F·x⁵+F·∛3·x⁴+F·∛9x³+

+Mx⁵+Nx⁴–M·∛3·x⁴– N∛3·x³

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x⁵
0=A+F+M
при x⁴
0=B+F·∛3+N–M·∛3
при x³
0=D+F·∛9–N·∛3
при x²
0=–3A ⇒A=0
при x¹
0=–3B ⇒ B=0
при x⁰
1=–3D ⇒ D=–1/3

D=–1/3; B=0; A=0
подставим в первые три равенства для коэффициентов

0=F+M ⇒ F = – M
0=F·∛3+N–M·∛3 ⇒N= 2M·∛3=–2F·∛3
1/3=F·∛9–N·∛3 ⇒(1/3)= F·∛9 +2F·∛3

F=1/(3·(∛9 +2·∛3))



Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ dx/(x³·(x³–3))=D∫(dx/x³) + F∫ (dx/(x– ∛3) + ∫ (Mx+N)dx/(x²+∛3·x+∛9)

Первый интеграл
(1)D∫(dx/x³) =D· ∫ x^–3dx=D·x^–2/(–2)=D/(–2x²)=1/(6x²) ( D=–1/3)
Второй интеграл
(2)F∫ (dx/(x– ∛3) =F·ln|x–∛3|, (F=1/(3·(∛9 +2·∛3)))

Третий интеграл
Выделяем полный квадрат в знаменателе

x²+∛3·x+∛9=(x²+2x·((∛3)/2)+(∛9)/4 –(∛9)/4 +∛9=

=(x+((∛3)/2))² +(3·(∛9)/4)

Замена
x+((∛3)/2)=u
dx=du
x= u – ((∛3)/2)
(3)
∫ (Mx+N)dx/(x²+∛3·x+∛9)=

= ∫ M·(u– ((∛3)/2) )+N)du/(u²+(3·(∛9)/4))=

=(M/2) ∫ 2u/( (u²+(3·(∛9)/4)) +(N–((∛3)/2) ) ·(1/a)arctg (u/a)

где
M= – F = –1/(3·(∛9 +2·∛3)))

N=–2F=–2/(3·(∛9 +2·∛3)))

a²=(3·(∛9)/4)

О т в е т. сумма трех ответов (1) + (2) + (3) + С