Задача 13657 ...

slava191

2 ноября 2017 г. в 00:00

Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: (1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)...

а) Найти сумму чисел в десятой группе;
б) Найти сумму чисел в сотой группе;
в) Определить среди первых ста групп количество групп, в которых сумма чисел делится на 3.

SOVA

2 декабря 2017 г. в 00:00

★

a)
1–ая группа (1);
2–ая группа (3;5)
3–я группа (7;9;11)
4–я группа (13;15;17;19)
5–я группа (21;23;25;27;29)
6–я группа (31;33;35;37;39;41)
7–ая группа (43;45;47;49;51;53;55)
8–ая группа (57;59;61;63;65;67;69;71)
9–ая группа (73;75;77;79;81;83;85;87;89)
10–я группа (91;93;95;97;99;101;103;105;107;109)
Находим сумму по формуле арифметической прогрессии
S₁₀=(91+...109)·10/2=1000

Всего в таблице 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
(по формуле суммы ар прогрессии)=
(1+10)·10/2=55 чисел.
В десятой строке числа с 46–го по 55–е
По формуле общего члена арифметической прогрессии
а_n=а₁+d·(n–1)
a₄₆=1+2·(46–1)=91
a₅₅=1+2·(55–1)=109

б) Если представить такую же таблицу для 100 строк, то в ней будет записано
1+2+3+...+100=(1+100)·100/2=5050 чисел
В 100–й строке числа с 4951–е по 5050–е

a₄₉₅₁=1+2·(4951–1)=9901
a₅₀₅₀=1+2·(5050–1)=10099
S₁₀₀=(9901+10099)·100/2=1 000 000

в)
3–я группа (7;9;11) сумма чисел 7+9+11=18+9 кратна 3
6–я группа (31;33;35;37;39;41) 31+35+37+41 кратна 3
9–ая группа (73;75;77;79;81;83;85;87;89)
75 кратно 3; 81 кратно 3; 87 кратно 3
осталось проверить, что
сумма 73+77+79+83+85+89=150+168+168 кратна 3
В первой сотне групп 100:3=33 группы, в которых сумма чисел делится на 3.