Задача 37641 Найдите все значение параметра а, при...

qwerty123qwerty

27 мая 2019 г. в 17:38

Найдите все значение параметра а, при которых система

system{(x²+y²–25)(5y–x²+10x–25) = 0; log₃(41+y–2ax)–log₃(12–x)=1}

имеет ровно 3 решения

sova

27 мая 2019 г. в 18:06

★

ОДЗ:
{41+y–2ax >0
{12–x>0


(x²+y²–25)·(5y–x²+10x–25)=0
⇒
x²+y²–25=0 или 5y–x²+10x–25=0
⇒
x²+y²=25 или 5y=(x–5)²


log₃(41+y–2ax)–log₂(12–x) =1 ⇒ log₃(41+y–2ax)/(12–x)=1 ⇒

(41+y–2ax)/(12–x)=3 ⇒ 41+y–2ax=36–3x; x ≠12

⇒

2ax=41+y–36+3x

y=(–3–2a)x–5


Подставляем в (1)

x²+((–3–2а)х–5)²=25 ⇒

x²+(9+12a+4a²)x²+2·(3+2a)·5x+5²=25

(4a²+12a+10)x² + (30+20a)·x=0 (1#)


Подставляем в (2)

5·((–3–2а)х–5)=(x–5)²

(–15–10а)х–25=x²–10х+25

x²+(10a+5)x+50=0 (2#)


получили два квадратных уравнения (1#) и (2#)

Система будет иметь три решения

в том случае, если первое уравнение имеет два корня, второе один или первое имеет один, второе– два, составляем систему относительно дискриминантов.

или каждое уравнение имеет по два решения, но одно не входит в ОДЗ