Задача 37641 Найдите все значение параметра а, при...

qwerty123qwerty

2019-05-27 17:38:44

Найдите все значение параметра а, при которых система

system{(x^2+y^2-25)(5y-x^2+10x-25) = 0; log3(41+y-2ax)-log3(12-x)=1}

имеет ровно 3 решения

sova

2019-05-27 18:06:50

★

ОДЗ:
[b]{41+y-2ax >0
{12-x>0[/b]


(x^2+y^2-25)*(5y-x^2+10x-25)=0
⇒
x^2+y^2-25=0 или 5y-x^2+10x-25=0
⇒
x^2+y^2=25 или 5y=(x-5)^2


log_(3)(41+y-2ax)-log_(2)(12-x) =1 ⇒ log_(3)(41+y-2ax)/(12-x)=1 ⇒

(41+y-2ax)/(12-x)=3 ⇒ 41+y-2ax=36-3x; x ≠12

⇒

2ax=41+y-36+3x

[b]y=(-3-2a)x-5[/b]


Подставляем в (1)

x^2+((-3-2а)х-5)^2=25 ⇒

x^2+(9+12a+4a^2)x^2+2*(3+2a)*5x+5^2=25

[b](4a^2+12a+10)x^2 + (30+20a)*x=0[/b] (1#)


Подставляем в (2)

5*((-3-2а)х-5)=(x-5)^2

(-15-10а)х-25=x^2-10х+25

[b]x^2+(10a+5)x+50=0[/b] (2#)


получили два квадратных уравнения (1#) и (2#)

Система будет иметь три решения

в том случае, если первое уравнение имеет два корня, второе один или первое имеет один, второе- два, составляем систему относительно дискриминантов.

или каждое уравнение имеет по два решения, но одно не входит в ОДЗ