Задача 52957 Найдите наименьшее значение функции...

vk321588810

2020-08-03 07:38:06

Найдите наименьшее значение функции y=2e^2x-12e^x+20 на отрезке [1 ;2 ]

sova

2020-08-03 09:47:15

y=2e^(2x)-12e^(x)+20

y`=(2e^(2x)-12e^(x)+20)`=2*(e^(2x))`-12*(e^(x))+(20)`=

=2*e^(2x)*(2x)`-12*e^(x)+0=

=4e^(2x)-12e^(x)

y`=0

4e^(2x)-12e^(x)=0

4e^(x)*(e^(x)-3) =0

e^(x) > 0 при любом х

e^(x)=3

x=ln3

1=lne < ln 3 < ln e^2=2

x=ln3 - [i] единственная[/i] критическая точка на [1; 2]

Применяем [i]достаточное условие[/i] экстремума:

находим [i]знаки производной [/i]на отрезке:

y`<0, если e^(x)-3< 0 ⇒ x < ln3
y`>0, если e^(x)-3> 0 ⇒ x > ln3

[1] __-__ ( ln 3 ) __+__ [2]

x=ln3 - точка минимума данной функции на отрезке, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +

( [b]не надо считать значения на концах отрезка[/b]: если точка экстремума одна на отрезке, то она либо точка максимума, либо точка минимума)

y_(наим)=y(ln3)=2e^(2*ln3)-12e^(ln3)+20

Применяем [i]основное логарифмическое тождество[/i]:

a^(log_(a)b)=b, b >0; a >0; a ≠ 1

e^(2*ln3)=e^(ln3^2)=3^2

e^(ln3)=3

y_(наим)=y(ln3)=2*3^2-12*3+20=18-36+20=-18+20=2

О т в е т.[b] y_(наим)=2[/b]