Задача 29339 ...

bebutman

21 августа 2018 г. в 15:46

18. При каких a множество решений неравенств (a²–6a+8)x ≤ 3a–12 и (2a²–a³)x ≥ 6a+7–4a² совпадают?

sova

27 августа 2018 г. в 22:31

a²–6a+8=(a–2)(a–4)
Перепишем первое неравенство:
(a–2)(а–4)x ≤ 3·(a–4);
(a–4)·((a–2)x–3) ≤ 0
Произведение отрицательно когда множители разных знаков:
1)
system{a–4 ≥ 0;(a–2)x–3 ≤ 0} ⇒ system{a ≥ 4; значит a–2≥2>0 и x ≤ 3/(a–2)}
или
2)
system{a–4≤ 0;(a–2)x–3 ≥ 0} ⇒ system{a ≤4; если a ∈(2;4], то x ≥3/(a–2) и при a=0 0≥3 – верно } или system{если a < 2; то x ≤3/(a–2)}

Второе неравенство:
a²·(2–a)·x ≥ 6a+7–4a²;
При а=0 получим 0 ≥ 7 – неверно
При а=2 0 ≥ 3 – неверно
При a< 2,т.е. при 2–а >0 получаем
x ≥ (6a+7–4a²)/(a²·(2–a))

При a> 2,т.е. при 2–а < 0 получаем
x≤ (6a+7–4a²)/(a²·(2–a))

Сравниваем решения:
Первое неравенство при a < 2 имеет решение: x ≤3/(a–2)}
Второе неравенство при a <2 имеет решение x ≥ (6a+7–4a²)/(a²·(2–a))
множества решений совпадают, если
x=3/(a–2) и х= (6a+7–4a²)/(a²·(2–a)) равны.

Решаем уравнение:
3/(a–2) =(6a+7–4a²)/(a²·(2–a))
a²–6a–7=0
a=–1 или а=7
Учитывая, что а <2, получаем, что при а=–1 общее решение.

Первое неравенство при a ∈(2;4] 2 имеет решение: х ≥3/(a–2)
Второе неравенство при a >2 имеет решение x≤ (6a+7–4a²)/(a²·(2–a))
множества решений совпадают, если
x=3/(a–2) и х= (6a+7–4a²)/(a²·(2–a)) равны.

Решаем уравнение:
3/(a–2) =(6a+7–4a²)/(a²·(2–a))
a²–6a–7=0
a=–1 или а=7
Учитывая, что ∈(2;4] нет таких значений параметра а, чтобы неравенства имели общее решение.

При a > 4
решение первого неравенства
x ≤ 3/(a–2)
и
решение второго неравенства
x≤ (6a+7–4a²)/(a²·(2–a))

совпадают при
3/(a–2)=(6a+7–4a²)/(a²·(2–a))
⇒ a=–1 или a=7
Учитывая, что a > 4
получаем при а=7 решения неравенств совпадают

О т в е т. а=–1; a=7
Как–то так