Задача 43977 Даны линейные неоднородные...

vk340300196

2020-02-04 20:31:24

Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

y"+4y=3cosx, y(0)=1, y'(0)=2

sova

2020-02-04 21:32:47

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k_(1,2)=± 2i - корни комплексные

α=0
β=2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(αх)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx))

В данном случае

y_(одн.)=e^(0*х)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)

y_(одн.)=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x

Находим общее решение неоднородного уравнение

y=y_(одн)+у_(част)

Так как правая часть содержит 3cosx

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Acosx+Bsinx


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=-Asinx+Bcosx

y``_(част)=-Acosx-Bsinx


подставляем в данное уравнение:

-Acosx-Bsinx+4*(Acosx+Bsinx)=3cosx

3Acosx+3Bsinx=3cosx

A=1

B=0

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)


[b]y=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x+cosx[/b]



При начальных условиях
y(0)=1 y'(0)=2
найдем значения коэффициентов
C_(1) и С_(2)

y(0)=1, т.е

[b]1=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+cos0[/b]

C_(1)=1

y`=(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x+cosx)`

[blue]y`=-2*С_(1)sinx+2*C_(2)*cos2x-sinx[/blue]

y'(0)=2

[blue]2=-2*С_(1)*sin0+2*C_(2)*cos0-sin0[/blue]

2C_(2)=2

C_(2)=1


Решение при начальных условиях:

[b]y=cos2x+sin2x+cosx[/b]