Задача 26077 Провести полное исследование функции и...

vk90616545

4 сентября 2018 г. в 00:00

Провести полное исследование функции и построить график:
1. найти область определения функции
2. определить четность и периодичность
3. найти точки пересечения с началом координат
4. найти асимптоты (если есть)
5. найти интервалы монотонности и экстремумы (если есть)
6. найти интервал выпуклости, интервал и точки перегиба
7. найти дополнительные точки

SOVA

4 сентября 2018 г. в 00:00

★

1.Область определения функции
(–∞;1)U(1;+∞)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(–x)=(–x)²/((–x)³–1) =x²/(–x³–1)
y(–x) ≠ y(x)
y(–x) ≠ –y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)– точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.

4. Асимптоты
x=1 – вертикальная асимптота
lim_x→1–0= – ∞
lim_x→1+0= + ∞
y=0 – горизонтальная асимптота
lim_x→∞=0

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x<sup>2</sup>)`·(x³–1)–(x³–1)`·x<sup>2</sup>)/(x<sup>3</sup>–1)<sup>2</sup>
y`=(–x⁴–2x)/((x³–1)²
y`=0
–x⁴–2x=0
x·(–x³–2)=0
x=0 или х=∛–2
Расставляем знак производной:
_–__ (∛–2) _+__ (0) _–__ (1) _–__

х= ∛–2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
х=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

Функция возрастает на (∛–2;0)
убывает на ( – ∞; ∛–2) и на (0;1) и на (1;+ ∞)

6.Интервал выпуклости, точки перегиба

y``=((–x⁴–2x)`·(x<sup>3</sup>–1)<sup>2</sup> – ((x<sup>3</sup>–1)<sup>2</sup>)`·(–x⁴–2x))/(x³–1)⁴

y``=(2x⁶+14x³+2)/(x³–1)³

y``=0 ⇒ 2x⁶+14x³+2=0 D=196–4·2·2=180
x³=(–14–√180)/4 или x³=(–14+√180)/4

Две точки перегиба
(отмечены на рисунке).
a= ∛ (–14–√180)/4 и b= ∛(–14+√180)/4

Кривая выпукла вверх на (–∞;∛ (–14–√180)/4 )
и на (∛(–14+√180)/4; 1)
Кривая выпукла вниз на (∛ (–14–√180)/4; ∛(–14+√180)/4) и на (1;+ ∞)

7.
x=2 y=4/7
x=4 y=16/63

x=–2 y=–4/9