Задача 29489 6.29)...

slava191

2018-09-07 00:11:41

6.29) log4(log2x)+3log(1/8)(log2(2sqrt(2)x)) = 1

sova

2018-09-07 14:20:09

★

ОДЗ:
{x>0;
{log_(2)x>0 ⇒ x>1
{log_(2)2sqrt(2)x> 0 ⇒ x>sqrt(2)/4

[b]ОДЗ: х ∈ (1;+ ∞ )[/b]

По формуле перехода к другому основанию:
log_(4)(log_(2)x)=(log_(2)(log_(2)x))/(log_(2)4)=(1/2)log_(2)(log_(2)x);
log_(1/8)(log_(2)2sqrt(2)x)=(log_(2)log_(2)2sqrt(2)x)/log_(2)(1/8)=
=(-1/3)*(log_(2)log_(2)2sqrt(2)x);
уравнение принимает вид:

(1/2)log_(2)(log_(2)x) - log_(2)(2sqrt(2)x)=1.

Умножаем на 2
log_(2)(log_(2)x) - 2log_(2)(2sqrt(2)x)=2.

Переносим второе слагаемое вправо, 2=log_(2)4:
log_(2)(log_(2)x) = 2log_(2)(2sqrt(2)x)+ log_(2)4.

По свойству логарифма степени:
2log_(2)(log_(2)2sqrt(2)x)=log_(2)(log_(2)2sqrt(2)x)^2=
=log_(2)(log_(2)2^(3/2)+log_(2)x)^2=
=log_(2)((3/2)+log_(2)x)^2, тогда

log_(2)(log_(2)x) =log_(2) ((3/2)+log_(2)x)^2+ log_(2)4.

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(2)(log_(2)x) = log_(2)(4*((3/2)+log_(2)x)^2)

Значения логарифмической функции равны, значит равны и аргументы, так как логарифмическая функция монотонна и принимает каждое свое значение в единственной точке.

log_(2)x =4*((3/2)+log_(2)x)^2

4(log_(2)x)^2 +11 log_(2)x +9=0
D=121-4*4*9< 0
Уравнение не имеет корней?

Или опечатка в тексте?