Задача 8639 Найти все положительные значения А, при...
Условие
system{(|x|-5)^2+(y-3)^2=9;(x-1)^2+y^2=a^2}
Решение
При х >=0 по определению модуля |x|=x, получаем
(x-5)²+(y–3)²=3² - окружность с центром (5;3) радиуса 3 ( зеленого цвета).
При х <0 по определению модуля |x|=x, получаем
(-x-5)²+(y–3)²=3² - окружность с центром (-5;3) радиуса 3 (синего цвета)
Второе уравнение задает окружности с центром в точке (1;0) радиусом а ( различных значений) (сиреневого цвета)
Надо найти случаи, когда сиреневая окружность будет касаться одной из окружностей.
Соединяем центры зеленой и фиолетовой окружностей. Отрезок АС. Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3. АС=5, радиус зеленой окружности равен 3, значит радиус сиреневой окружности, которая касается зеленой в точке К равен 2. Это первое значение параметра а.
Окружность, которая будет касаться синей окружности в точке М не удовлетворяет условию, потому что она пересечет зеленую в двух точках.
Но условию задачи будет удовлетворять окружность, которая касается синей окружности в точке Р - диаметрально противоположной точке М.
Соединяем центры синей и фиолетовой окружностей и находим гипотенузу ВС прямоугольного треугольника с катетами 6 и 3. Она равна √45.
А радиус окружности, касающейся синей окружности в точке Р будет равен (3+√45), где 3 - радиус синей окружности. Это и будет второе значение параметра а.
Окружность касающаяся зеленой окружности в точке Т не удовлетворяет условию задачи, она будет пересекать синюю окружность в двух точках.
О т в е т. а=2 и а=3+√45.