Задача 27221 Решите неравенство 15.Все на картинке ...
Условие
Решение
16x-20-3x^2=(x-2)*(10-3x)
ОДЗ:
{x - 2 > 0 ⇒ x > 2
{x - 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{(x^2-4x+4)/(10-3x) > 0 ⇒ x ≠ 2; x < 10/3
{16x - 20 - 3x^2 > 0 ⇒ 2 < x < 10/3
{9x^2 - 60x + 100 > 0 ⇒ x ≠ 10/3
ОДЗ: х ∈ (2;3) U (3; 10/3)
В условиях ОДЗ
log_(x-2)(9x^2-60х+100)=log_(x-2)(3x-10)^2=2log_(x-2)|3x-10|=
=log_(x-2)(10-3x)
log_(x-2)(16x-20-3x^2)=log_(x-2)(x-2)*(3x-10)=
=log_(x-2)(x-2)+log_(x-2)(3x-10)
4-2log_(x-2)(16x-20-3x^2)-log_(x-2)(9x^2-60х+100)=
4-2log_(x-2)(x-2)-2log_(x-2)(3x-10)-2log_(x-2)(3x-10)=
=4-2- 4log_(x-2)(3x-10)
log_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=log_(x-2)(x-2)^2-log_(x-2)(10-3x)
=2-log_(x-2)(10-3x)
log^2_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=(2-log_(x-2)(10-3x))^2
Неравенство принимает вид:
2*(2-log_(x-2)(10-3x))^2/(2-4log_(x-2)(10-3x)) меньше или равно 3
Замена переменной
log_(x-2)(10-3x)=t
2*(2-t)^2/(2-4t) меньше или равно 3;
(8-8t+2t^2-6+12t)/(2-4t) меньше или равно 0;
(2t^2+4t+2)/(4t-2) больше или равно 0
__-__ [-1] ___-__ (1/2) __+__
t = - 1 или t > 1/2
log_(x-2)(10-3x) = - 1 ⇒ (x - 2) ^ (-1) = 10 - 3x ⇒
16x-20-3x^2=1 ⇒ 3x^2 - 16x +21=0 D=256-252=4
корни (16 ± 2)/6
[b]x=7/3[/b] или х=3 ( не входит в ОДЗ)
ИЛИ
log_(x-2)(10-3x) > 1/2
Так как ОДЗ: х ∈ (2;3) U (3; 10/3)
решаем неравенство на (2;3)
10-3x > 0
и
0 < (x-2) < 1
Логарифмическая функция убывает, поэтому
10-3x < sqrt(x-2)
или
sqrt(x-2) > 10-3x
Возводим в квадрат
x-2 > 100 - 60 x + 9x^2
9x^2-61x+102 < 0
D=(-61)^2-4*9*102=49
x=3 или х=(34/9)
x ∈ (3; 34/9)
не удовл. условию x ∈ (2;3)
нет решений
на (3;10/3)
(x-2) > 1
Логарифмическая функция возрастает, поэтому
10-3x > sqrt(x-2)
Возводим в квадрат
100 - 60 x + 9x^2 > x -2
9x^2-61x+102 > 0
D=(-61)^2-4*9*102=49
x=3 или х=(34/9)
x ∈ (- бесконечность ;3) U (34/9;+ бесконечность )
не пересекается с (3;10/3)
нет решений
О т в е т. х=7/3