Задача 29106 Найдите корни многочлена: а)...

u4614714047

28.07.2018

Найдите корни многочлена: а) x^4-17x^2+16=0; б) x^4+15x^2-16+0; в) y^4-2y^3+y^2-36=0; г) y^4-y^2-4y-4=0.

SOVA

28.07.2018

★

a) Биквадратное уравнение.
Замена
x^2=t
x^4=t^2
t^2-17t+16=0
D=(-17)^2-4*16=289-64=225=15^2
t_(1)=(17-15)/2=1 ИЛИ t_(2)=(17+15)/2=16
Обратный переход
x^2=1 ИЛИ x^2=16
x_(1)=-1 или x_(2)=1 ИЛИ x_(3)=-4 или x_(4)=4

О т в е т. -4;-1;1;4

б)Биквадратное уравнение.
Замена
x^2=t
x^4=t^2
t^2+15t-16=0
D=(15)^2-4*(-16)=225+64=289=17^2
t_(1)=(-15-17)/2=-16 или t_(2)=(-15+17)/2=1
Обратный переход
x^2=-16 - уравнение не имеет действительных корней
ИЛИ
x^2=1
x_(1)=-1 или x_(2)=1

О т в е т. -1;1

в)Применяем формулы сокращенного умножения
y^4-2y^3+y^2=(y^2-y)^2
Уравнение принимает вид
(y^2-y)^2-6^2=0
По формуле разности квадратов
(y^2-y-6)*(y^2-y+6)=0
Произведение равно 0 если хотя бы один множитель 0

y^2-y-6=0 ИЛИ y^2-y+6=0
D=1+24=25 ИЛИ D=1_4*6=-23 < 0 нет корней
x_(1)=-2 или x_(2)=3

О т в е т. -2; 3

г)
y^4-y^2-4y-4=0
(y^2)^2-(y^2+4y+4)=0
(y^2)^2-(y+2)^2=0
(y^2-y-2)*(y^2+y+2)=0
y^2-y-2=0
D=1+8=9
y_(1)=-1; y_(2)=2
ИЛИ
y^2+y+2=0
D=1-4*2=-7 < 0
уравнение не имеет корней
О т в е т. -1;2