Задача 24505 Исследовать функцию, при помощи...
Условие
1) y = 1/4x^4-2x^2+7/4
2) y = x^3-4x
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(-х)=(1/4)(-х)^4-2*(-x)^2+(7/4)=(1/4)x^4-2x^2+(7/4)
y(-x)=y(x)
3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)((1/4)x^4-2x^2+(7/4)=
=+бесконечность
4) f(x)=0
(1/4)x^4-2x^2+(7/4)=0
x^2=t
t^2-8t+7=0
D=64-28=36
x=1 или x=7
(1;0) и (7;0) - точки пересечения с осью Ох.
При х=0 у=7/4
(0;7/4) - точка пересечения с осью Оу.
5)
y`=x^3-4x;
y`=0
x^3-4x=0
x*(x^2-4)=0
x=0 или x^2-4=0 ⇒х=±2
Знак производной
_-__ (-2) ___+___ (0) __–__ (2 ) __+__
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=-2 и х=2 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
Функция убывает при x∈ (-бесконечность;-2) и x∈ (0;2)
возрастает при x∈ (-2;0) и (2;+бесконечность)
у(0)=7/4
y(-2)=y(2)=-9/4
7)y``=(x^3-4x)`=3x^2-4
y``=0
3x^2-4=0
x= ±2 sqrt(3)/3 -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;-2sqrt(3)/3) и на (2sqrt(3)/3;+ бесконечность )
выпукла вверх на (-2sqrt(3)/2;2sqrt(3)/2)
2.
y=x^3-4x
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является нечетной.
у(-х)=(-х)^3-4*(-x)=-x^3+4х
y(-x)= - y(x)
3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(x^3-4х)=бесконечность
4) f(x)=0
x^3-4x=0
x*(х^2-4)=0
х=0 или x=2 или x=-2
(-2;0) ; (0;0); (2;0) - точки пересечения с осью Ох.
(0;0) - точка пересечения с осью Оу.
5) и 6)
y`=3x^2-4
y`=0
3x^2-4=0
x=±2 sqrt(3)/3
Знак производной
_+__ (-2 sqrt(3)/3) ___-___ (2 sqrt(3)/3 ) __+__
x= -2 sqrt(3)/3– точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=2 sqrt(3)/3- точка минимума, производная меняет знак с - на +
Функция убывает при x∈( (-2 sqrt(3)/3) ; (2 sqrt(3)/3 ))
возрастает при x∈ (-бесконечность;(-2 sqrt(3)/3)) и
при x∈((2 sqrt(3)/3);+бесконечность)
у(-2 sqrt(3)/3)= 20sqrt(3)/9
y(2 sqrt(3)/3)=- 20sqrt(3)/9
7)y``=(3x^2-4)`=6x
y``=0
6x = 0
x=0-точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак .
Функция выпукла вверх на (- бесконечность ;0)
и
выпукла вниз на (0;+ бесконечность )
