Задача 28631 ...

vk204717778

23 июня 2018 г.

Решить интеграл ∫arcctg(x/5)

Найти общее решение (1+e^x)yy'=e^x

SOVA

23 июня 2018 г.

Применяем метод интегрирования по частям.
u=arcctg(x/5)
dv=dx
du=(–1/(1+(x/5)²))·(x/5)`dx⇒ du=–5dx/(25+x²)
v=x

∫ arcctg(x/5)dx=x·arcctg(x/5) + ∫ 5xdx/(25+x²)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ∫ 2xdx/(25+x²)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ∫ d(25+x²)/(25+x²)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ln (25+x²) + C

2
Уравнение с разделяющимися переменными.
y`=dy/dx
Разделяем переменные
ydy=e^x·dx/(1+e^x).
Интегрируем
∫ ydy= ∫ e^xdx/(1+e^x).
или
∫ ydy= ∫ d(1+e^x)/(1+e^x).
y²/2=ln(1+e^x)+lnC
y²/2=lnC·(1+e^x)
y²=2lnC·(1+e^x) – общее решение данного уравнения

vk397114329

23 июня 2018 г.

(1+e^x)yy'=e^x
y'=dy/dx. Поделив обе части уравнения на (e^x+1). получим
ydy=e^x·dx/(1+e^x). Интегрируя это уравнение, получим

∫ ydy= ∫ e^xdx/(1+e^x). откуда y²/(2)=ln(1+e^x)+lnC ( вместо С для удобства вычисления возмем lnC) .откуда
y²=2lnC(1+t^x). Это и есть общее решение уравнения.