Задача 36493 ...
Условие
Все решения
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
х ∈(-1,5;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+ ∞ )
[b]Решение.[/b]
Так как 1=log_(x^2)x^2
неравенство принимает вид:
[b]log_(x^2)(2x+3)≤log_(x^2)(x^2)[/b]
Рассматривают два случая.
Первый случай
Основание логарифмической функции x^2>1
Тогда логарифмическая функция возрастает и
2x+3 ≤x^2
Система неравенств:
{x^2>1⇒ x < -1 или x > 1
{x^2-2x-3 ≥ 0 D=4+12=16; корни -1 и 3; решение неравенства
x ≤ -1 или х ≥ 3
Решение системы : (- ∞;-1) U[3;+ ∞)
С учетом ОДЗ: [b] (-1,5;-1)U[3;+ ∞)[/b] - первый о т в е т.
Второй случай
Основание логарифмической функции 0 < x^2<1
Тогда логарифмическая функция убывает и
2x+3≥ x^2
Система неравенств:
{0 < x^2<1⇒ -1 < x < 0 или 0 < x < 1
{x^2-2x-3≤ 0 ⇒ -1 ≤ х ≤ 3
Решение системы : (- 1;0) U(0;1)
С учетом ОДЗ: [b](- 1;0) U(0;1) [/b] - второй о т в е т.
О т в е т. Объединение двух ответов:
(-1,5;-1)U(- 1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)
А вот теперь смотрите, как далеко убежит( выиграет время для решения другой задачи) тот, кто пользуется [b]методом рационализации логарифмического уравнения.[/b]
Решение:
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
[b]{(x^2-1)*(2x+3-x^2) ≤ 0[/b]
D=16; корни (-1) и (3)
⇒ (x-1)(x+1)*(x+1)*(x-3) ≥ 0
(x+1)^2*(x-1)*(x-3)≥ 0
Решаем неравенство методом интервалов:
_+_ [-1] __+_ __ [1] __-__[3]___+__
С учетом первых трех неравенств (c учетом ОДЗ):
(-1,5) _+_ (-1) __+_ (0) _+__ (1) __-__[3]___+__
О т в е т. (-1,5;-1) U (-1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)
Р.S.
Внимательный и думающий заметит, что в первом способе решения первый и второй случаи приводят к системам неравенств, в которых одинаковые выражения, но противоположных знаков.
Значит их произведение этих выражений отрицательно ( неположительно), поэтому фактически достаточно рассмотреть произведение ( вместо двух систем),
что и делается в случае, который назван методом рационализации!
