Задача 26947 4.38) tg((Pi/2)cosx)+ctg(Pisinx) = 0...
Условие
Решение
cos( πsinx - ((π/2)cosx))/(cos((π/2)cosx)*sin(πsinx)) = 0
{ cos( πsinx - ((π/2)cosx))=0
{cos((π/2)cosx ≠ 0
{sin(πsinx) ≠ 0
{ πsinx - (π/2)cosx=(π/2)+πk, k∈ Z
{(π/2)cosx ≠ (π/2)+πm, m∈ Z
{πsinx ≠ πn, n ∈ Z
{ sinx - (1/2)cosx=(1/2)+k, k∈ Z
{(1/2)cosx ≠ (1/2)+m, m∈ Z
{sinx ≠ n, n ∈ Z
{ sinx - (1/2)cosx=(1/2)+k, k∈ Z ⇒возможны k=-1; k=0.
{cosx ≠ 1+2m, m∈ Z ⇒ m=0; m=-1
{sinx ≠ n, n ∈ Z ⇒ n=0; n=-1; n=1
cosx ≠ 0
cosx ≠ -1
sinx ≠ 0
sinx ≠ 1
sinx ≠ -1
Возможные значения для k
k=-1; k=0.
При k=-1
sinx - (1/2)cosx=-1/2
Применяем метод вспомогательного угла
2/sqrt(5)sinx-(1/sqrt(5))cosx= -1/sqrt(5)
cos phi *sinx - sin phi *cosx=-1/sqrt(5)
sin(x- phi )=-1/sqrt(5)
[b]x=arcsin(1/sqrt(5))+(-1)^(s) arcsin(-1/sqrt(5))+Pis, s ∈ Z[/b]
При s=2r
x=arcsin(1/sqrt(5))+arcsin(-1/sqrt(5))+2Pir=
=2Pir, r ∈ Z не удовл усл.( sinx ≠ 0)
При s=2r+1
x=arcsin(1/sqrt(5))-arcsin(-1/sqrt(5))+Pi+2Pir=
=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z
При k=0
sinx - (1/2)cosx=1/2
Применяем метод вспомогательного угла
2/sqrt(5)sinx-(1/sqrt(5))cosx= 1/sqrt(5)
cos phi *sinx - sin phi *cosx=1/sqrt(5)
sin(x- phi )=1/sqrt(5)
[b]x=arcsin(1/sqrt(5))+(-1)^(s) arcsin(1/sqrt(5))+Pis, s ∈ Z[/b]
При s=2r
x=arcsin(1/sqrt(5))+arcsin(1/sqrt(5))+2Pir=
=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z
При s=2r+1
x=arcsin(1/sqrt(5))-arcsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir=
=Pi+2Pir, r ∈ Z (не удовл усл.( sinx ≠ 0))
О т в е т.
1)x=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z
2)x=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z
Так как
arccos(-a)=Pi-arccosa;
arcsina+arccosa=Pi/2
arccosa=(Pi/2)-arcsina
2arccos(-1/sqrt(5))=2Pi-2arccos(1/sqrt(5))=
=2Pi-2*((Pi/2)-arcsin(1/sqrt(5))=2Pi-Pi+2arcsin(1/sqrt(5))
2arccos(1/sqrt(5))=2*(Pi/2-arcsin(1/sqrt(5))=
=Pi-2arcsin(1/sqrt(5))
-2arccos(1/sqrt(5))=
=2arcsin(1/sqrt(5)) - Pi
Значит
ответ 1) x=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z равен -2arccos(-1/sqrt(5))+2Pin, n Z
ответ 2) x=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z равен
-2arccos(1/sqrt(5) + Pi+2Pir, r ∈ Z