Задача 37341 На стороне ВС остроугольного...

nurieva

20 мая 2019 г. в 21:57

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 605, MD = 550, Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите HD

sova

20 мая 2019 г. в 23:16

Проведем высоту BE, ∠ BEC=90 °, ВС– диаметр,
∠ BEC опирается на диаметр ВС.
Значит точка Е – точка пересечения полуокружности с диаметром ВС и стороны АС.

Достроим полуокружность до окружности и продолжим высоту AD до пересечения с окружностью,
получим точку F.

По условию AD=605, MD=550
Значит АМ=AD–MD= 605 – 550 = 55

MD = DF = 550
AF = AD+DF=605+550=1155

По свойству секущих
AM·AF=AE·AC

AM·AF=55·1155

Значит и AE·AC=55·1155

Δ AНЕ и Δ ADC подобны как прямоугольные треугольники, имеющие общий острый угол ∠ DAC.

Из подобия

AH:AC=AE:AD ⇒ AH = AE· AC/AD= 55·1155/605 =105

О т в е т. АН=105