Задача 33602 При каких a оба корня уравнения...

vk315681991

2019-02-15 12:31:42

При каких a оба корня уравнения x^2+4ax+(1−2a+4a^2)=0 меньше -1?

sova

2019-02-15 23:10:53

★

Пусть x_(1) и x_(2) - корни данного уравнения.

Графиком функции f(x) = x^2+4ax+(1-2a+4a^2)
является парабола, пересекающая ось Ох в точках x_(1) и x_(2). Поскольку коэффициент перед x^2
a=1>0, ветви параболы направлены вверх.

Значит, одним из условий для выполнения требований задачи задачи является
(1)
{D>0 ( это гарантирует наличие двух корней)
При этом по отношению к (-1) возможны три случая расположения корней, оба корня слева от (-1), оба корня справа от (-1)
и (-1) между корнями
Условие
(2)
{f(-1)>0
исключает случай: один корень меньше (-1), другой больше (-1)
Условие
(3)
исключает второй случай
{x_(o) < -1

Оба корня слева от (-1)
См. рис.

Система трех неравенств - это необходимые и достаточные условия для выполнения требования задачи.

D=(4a)^2-4*(1-2a+4a^2)=16a^2-4+8a-16a^2=8a-4
f(-1)=(-1)^2+4a*(-1)+1-2a+4a^2
x_(o)=-b/2a= -4a/2=-2a

{8a-4 >0 ⇒ a > 1/2
{1-4a+1-2a+4a^2 >0 ⇒ 2a^2-3a+1 >0 ⇒ a < 1/2 или a > 1
{-2a<-1 ⇒ a>1/2

О т в е т. при а > 1