Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 30758 Решите неравенство...

Условие

Решите неравенство log(1/3)log2(x^2-|x|-12)/(x+3) > 0

математика 10-11 класс 3304

Решение

Так как 0=log_(1/3)1, то

log_(1/3)log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) >log_(1/3)1

Логарифмическая функция с основанием 0 < (1/3) <1 убывающая и бОльшему значению функции соответствует мЕньшее значение аргумента, а выражение под знаком логарифма положительно, получаем систему двух неравенств:

{log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) > 0⇒ log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) > log_(2)1;
{log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) < 1 ⇒ log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) < log_(2)2.

Логарифмическая функция с основанием 2> 1 возрастающая и
бОльшему значению функции соответствует бОльшее значение аргумента, а выражение под знаком логарифма положительно, получаем систему трех неравенств:

{(x^2–|x|–12)/(x+3) > 0
{(x^2–|x|–12)/(x+3) > 1⇒ (x^2–|x|–12)/(x+3) - 1 > 0
{(x^2–|x|–12)/(x+3) < 2⇒ (x^2–|x|–12)/(x+3) - 2 < 0

второе неравенство исключает первое, поэтому осталось только два неравенства ( t > 0 и t > 1⇒ t >1).

{ (x^2-|x|-12-x-3)/(x+3) >0
{ (x^2-|x|-12-2x-6)/(x+3) < 0

1)

При x ≥ 0 |x|=x

{ (x^2 - х - 12 - x - 3)/(x+3) >0 ⇒ (x^2-2x-15)/(x+3) > 0
{ (x^2 - х - 12 - 2x - 6)/(x+3) < 0 ⇒ (x^2-3x-18)/(x+3) < 0

{(x - 5)*(x + 3)/(x + 3) > 0⇒ x (5;+∞)
{(x -6)/(x+3)/(x+3) < 0 ⇒ x ∈ (- ∞;-3) U (-3;6)
О т в е т. 1) (5;6)

2)

При x < 0 |x| = - x

{ (x^2 + х - 12 - x - 3)/(x+3) >0 ⇒ (x^2 - 15)/(x+3) > 0
{ (x^2 +х - 12 - 2x - 6)/(x+3) < 0 ⇒ (x^2- x -18)/(x+3) < 0


{(x - √(15))*(x+√(15))/(x + 3) > 0⇒ c учетом x < 0 получим x ∈ (-√15;-3)
{(x^2 -x -18)/(x+3) < 0 и ⇒ D=1+4*18=73
x_(1)=(1-sqrt(73))/2 или x_(2)=(1+sqrt(73))/2 с учетом x < 0

x ∈( ∞;(1-sqrt(73))/2) U (-3; 0)

sqrt(15) > (1-sqrt(73))/2 , так как 2sqrt(15) > 1-sqrt(73) ⇒ 4*16>1+73-2sqrt(73) или 2sqrt(73) > 74-60; 4*73>196=14^2

значит - sqrt(15) < (1-sqrt(73))/2


О т в е т. 2) (-sqrt(15); (1-sqrt(73))/2).

Объединяем ответ 1) и 2)

О т в е т (-sqrt(15); (1-sqrt(73))/2) U(5;6)

РS. Считаю нецелесообразным нахождение сначала ОДЗ, так как это приводит к дополнительному решению системы двух неравенств:
{(x^2-|x|-12-x-3)/(x+3) >0
{log_(2)(x^2–|x|–12)/(x+3) > 0

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК