Задача 33768 y’’+y’tgx=cosx. y(0)=1. y’(0)=0 ...
Условие
Решение
y``=z`
z`+(tgx)z=cosx- линейное первого порядка.
1)z`+tgx*z=0
dz/z=-tgxdx
Интегрируем
ln|z|=ln|cosx|+ lnC
z=C*cosx
Метод вариации
z=C(x)*cosx-C(x)*sinx
Подставляем в линейное
C`(x)*cosx-C(x)*sinx+tgx*C(x)cosx=cosx
tgx*cosx=sinx и второе и третье слагаемое дают 0
C`(x)cosx=cosx
C`(x)=1
C(x)=x+C_(1)
z=(x+C_(1))*cosx
y`=(x+C_(1))*cosx
y= ∫ (x+C_(1))*cosxdx
∫ xcosxdx cчитают по частям
u=x
dv=cosxdx
du=dx
v=sinx
y=xsinx- ∫ sinxdx + C_(1) ∫ cosxdx
[b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b]
y`=(x+C_(1))*cosx
y`(0)=0
0=0+C_(1)*cos0
C_(1)=0
y(0)=1
1=0+cos0+)+C_(2)
C_(2)=1
О т в е т. [b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b] - общее решение
[b]y=xsinx +cosx + 1 [b] - частное решение, решение задачи Коши
