Задача 33768 y’’+y’tgx=cosx. y(0)=1. y’(0)=0 ...

ermakhan001

20 февраля 2019 г. в 19:41

y’’+y’tgx=cosx. y(0)=1. y’(0)=0

sova

20 февраля 2019 г. в 19:50

★

y`=z
y``=z`
z`+(tgx)z=cosx– линейное первого порядка.
1)z`+tgx·z=0
dz/z=–tgxdx
Интегрируем
ln|z|=ln|cosx|+ lnC
z=C·cosx

Метод вариации
z=C(x)·cosx–C(x)·sinx

Подставляем в линейное

C`(x)·cosx–C(x)·sinx+tgx·C(x)cosx=cosx

tgx·cosx=sinx и второе и третье слагаемое дают 0

C`(x)cosx=cosx
C`(x)=1
C(x)=x+C₁

z=(x+C₁)·cosx

y`=(x+C₁)·cosx

y= ∫ (x+C₁)·cosxdx


∫ xcosxdx cчитают по частям
u=x
dv=cosxdx
du=dx
v=sinx

y=xsinx– ∫ sinxdx + C₁ ∫ cosxdx

[b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C₂[b]

y`=(x+C<sub>1</sub>)·cosx
y`(0)=0
0=0+C₁·cos0
C₁=0

y(0)=1
1=0+cos0+)+C₂
C₂=1

О т в е т. [b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C₂[b] – общее решение
[b]y=xsinx +cosx + 1 [b] – частное решение, решение задачи Коши