1) y’’+1,44y=0, y(0)=1, y’(0)=0
2)y’’=sin(x/2), y(pi)=pi, y’(pi)=1
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1,44=0
k=-1,2i или k=1,2i
α=0
β=1,2
y=e^(0x)*(C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x)
[b]y= C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x[/b] - общее решение
y(0)=1
1=C_(1) cos1,2*0+C_(2)sin1,2*0
1==C_(1)*1+C_(2)*0
C_(1)=1
y`=1,2C_(1)(-sin1,2x)+1,2C_(2)cos1,2x
y`(0)=0
0=-1,2C_(1)(sin1,2*0x)+1,2C_(2)cos1,2*0
0=1,2C_(2)
C_(2)=0
[b]y=cos1,2x[/b] - частное решение
2)
y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sin(x/2)dx=2* ∫ sin(x/2)d(x/2)=2*(-cos(x/2))+C_(1)
y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2*(-cos(x/2))+C_(1)) dx=
=-2 ∫ cos(x/2)dx +C_(1) ∫ dx=
=-4 ∫ cos(x/2)d(x/2) +C_(1) ∫ dx=
= [b]-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2)[/b]- общее решение
y(π)=π
π=-4sin(π/2)+C_(1)*π+C_(2)
π=-4*1+C_(1)*π+C_(2)
π+4=C_(1)*π+C_(2)
y`=(-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2))`=
=-4*cos(x/2)*(1/2) +C_(1)
y’(π)=1
1=-2cos(π/2)+C_(1)
1=-2*0+C_(1)
[b]C_(1)=1[/b]
π+4=C_(1)*π+C_(2)
π+4=1*π+C_(2)
C_(2)=4
[b]y=-4sin(x/2)+x+4[/b]- частное решение