Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 36641 Решить ДУ. Решить задачу Коши для ДУ...

Условие

Решить ДУ. Решить задачу Коши для ДУ второго порядка :
1) y’’+1,44y=0, y(0)=1, y’(0)=0
2)y’’=sin(x/2), y(pi)=pi, y’(pi)=1

математика ВУЗ 1206

Решение

1)
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1,44=0

k=-1,2i или k=1,2i
α=0
β=1,2
y=e^(0x)*(C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x)
[b]y= C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x[/b] - общее решение

y(0)=1
1=C_(1) cos1,2*0+C_(2)sin1,2*0
1==C_(1)*1+C_(2)*0

C_(1)=1

y`=1,2C_(1)(-sin1,2x)+1,2C_(2)cos1,2x

y`(0)=0

0=-1,2C_(1)(sin1,2*0x)+1,2C_(2)cos1,2*0

0=1,2C_(2)

C_(2)=0

[b]y=cos1,2x[/b] - частное решение

2)

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sin(x/2)dx=2* ∫ sin(x/2)d(x/2)=2*(-cos(x/2))+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2*(-cos(x/2))+C_(1)) dx=

=-2 ∫ cos(x/2)dx +C_(1) ∫ dx=

=-4 ∫ cos(x/2)d(x/2) +C_(1) ∫ dx=

= [b]-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2)[/b]- общее решение

y(π)=π
π=-4sin(π/2)+C_(1)*π+C_(2)

π=-4*1+C_(1)*π+C_(2)

π+4=C_(1)*π+C_(2)

y`=(-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2))`=

=-4*cos(x/2)*(1/2) +C_(1)

y’(π)=1

1=-2cos(π/2)+C_(1)
1=-2*0+C_(1)
[b]C_(1)=1[/b]

π+4=C_(1)*π+C_(2)
π+4=1*π+C_(2)
C_(2)=4

[b]y=-4sin(x/2)+x+4[/b]- частное решение

Написать комментарий