Задача 29508 9.8. Окружность радиуса 3, центр О...

slava191

2018-09-07 20:45:55

9.8. Окружность радиуса 3, центр О которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника, касается катетов. Найдите площадь треугольника, если ОА = 5 .

sova

2018-09-07 23:39:25

★

Из прямоугольного треугольника АОЕ:
АЕ=4 ( египетский треугольник: катеты 3 и 4; гипотенуза 5)

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касасния.
OD ⊥ BC
AC ⊥ BC ( угол С – прямой)
OD ||AC
Δ ODB подобен Δ АСВ

Из подобия следует пропорциональность сторон:

OB : AB = OD : AC;

OB : (OB+5) = 3 : 7;
4OB=15
OB=15/4=3,75

АВ=АО+ОВ=5+3,75=8,75
AC=7

По теореме Пифагора
BC^2=AB^2- AC^2 = 8,75^2 - 7^2=(8,75-7)*(8,75+7)=441/16
BC=21/4=5,25

Можно найти OD по теореме Пифагора из Δ ODB:
(OD=2,25), тогда ВС=3+2,25=5,25

S ( Δ ABC) = (1/2)*AC * BC=(1/2)*7*5,25=18,375=147/8

О т в е т. 18,375