Задача 50592 ...

vk121893365

2020-05-18 12:25:12

a) Решите уравнение log²₂(5 - cos x) - 5 log₂(10 - 2 cos x) = -11.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 4π].

sova

2020-05-18 13:47:39

★

Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 5-cosx > 0 при любом х

log_(2)(10-2cosx)=log_(2)2*(5-cosx)=log_(2)2+log_(2)(5-cosx)=1+log_(2)(5-cosx)

[i]Замена переменной:[/i]
[blue]log_(2)(5-cosx)=t[/blue]

t^2-5*(1+t)=-11

t^2-5t+6=0

t_(1)=[b]2[/b] или t_(2)=[b]3[/b]


Обратный переход:
[blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]2[/b] или [blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]3[/b]

[blue]5-cosx=2[/blue]^([b]2[/b]) или [blue]5-сosx=2[/blue]^([b]3[/b])

cosx=1 или cosx=-3 ( не имеет корней, |cosx| ≤ 1)

x=2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]2πn, n ∈ Z[/b]


б)
x=2π принадлежит указанному отрезку