Задача 12101 Точка M лежит на стороне BC выпуклого...

slava191

09.12.2016

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

SOVA

09.12.2016

★

Пусть Т- середина АМ. Треугольник АМВ - равнобедренный, значит ВТ- высота, медиана и биссектриса.
DM⊥AM
BT||MD.
BT проходит через середину АМ, значит и через середину AD.
Аналогично, треугольник DCM - равнобедренный.
CP-высота, медиана и биссектриса.
CР || AM, продолжение CP-средняя линия треугольника
АМD и потому проходит через середину AD
Биссектрисы углов В и С четырехугольника АВСD пересекаются на стороне AD.

NPMT- прямоугольник.
S(NPMT)=18

Так как ВМ:МС=1:3, то BT:NT=1:3 и MT:PC=1:3

S(ΔABM)=BT*AM/2=BT*TM=(NT/3)*TM=S(NPTM)/3=18/3=6
S(ΔDCM)=DM*CP/2=DM*PM=
=NT*(3MT)=3S(NPTM)=3*18=54

S(ΔDMA)=AM*DM=2TM*PM=2S(NPTM)=2*18=36

S(ABCD)=S(ΔDMA)+S(ΔAMB)+S(ΔDMC)=36+6+54=96
О т в е т. S(ABCD)=96