Задача 43477 Найти все значения а, при которых...

solmar

2020-01-18 16:51:21

Найти все значения а, при которых уравнение имеет не менее трех корней
x4+4x3+4ax-16x-16+8a-a2=0

sova

2020-01-18 18:09:10

x^4+4x^3+4ax-16x-(a-4)^2=0;

x^4-(a-4)^2+4x^3+4ax-16x=0

(x^2-a+4)*(x^2+a-4)+4x(x^2+a-4)=0

(x^2+a-4)*(x^2-a+4+4x)=0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0

x^2+a-4=0 или x^2-a+4+4x=0

x^2=4-a или x^2+4x+(4-a)=0

при 4-а <0 первое уравнение не имеет корней, этот случай не устраивает, так как второе уравнение квадратное и может иметь не более двух корней.


при 4-a=0 первое уравнение имеет один корня x_(1)=x_(2)=0

второе уравнение принимает вид x^2+4x=0 которое имеет два корня

x_(3)=0; x_(4)=-4

этот случай не устраивает, так как уравнение имеет только два корня
x_(1)=x_(2)=x_(3)=0; x_(4)=-4

Итак

при 4-a >0, т. е [b]a < 4[/b] первое уравнение имеет два корня, тогда

второе- квадратное уравнение должно иметь хотя бы один, это возможно, если дискриминант

D=16-4*(4-a)=16-16+4a=4a

D ≥ 0 ⇒

При D=0, т. е при 4a =0,

[b]a=0 [/b] x_(3)=x_(4)=-2

При D>0, т. е при 4a >0,

[b]a> 0[/b] x_(3) =(-4-sqrt(4a))/2= -2-sqrt(a); x_(4)=-2+sqrt(a)

О т в е т. [0;4]