Задача 46692 ...

vk306899767

11 апреля 2020 г. в 13:49

1. Найти пределы функций.

1) lim (x² – 3x + 2)/(3x² – x + 4) ; a) x0 = –1; б) x0 = 1; в) x0 = ∞
2) lim ((2x – 1)/(2x + 1))^x

sova

11 апреля 2020 г. в 14:10

★

1.
a)
[m]=\lim_{x \to(-1) }\frac{x^2-3x+2}{-3x^2-x+4}=\frac{(-1)^2-3\cdot (-1)+2}{-3\cdot (-1)^2-(-1)+4}=\frac{6}{2}=3[/m]

б)
[m]=\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-3x+2}{-3x^2-x+4}=\frac{0}{0}[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(-3x-4)}=[/m]

сокращаем на (х–1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{-3x-4}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}[/m]


в)

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x²:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}{\frac{-3x^2-x+4}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x² и
каждое слагаемое знаменателя делим на x²:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{-3x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{4}{x^2}}=[/m]

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{-3-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}=\frac{1-0+0}{-3-0+0}=-\frac{1}{3}[/m]


2.
см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{x}=[/m]

Делим и числитель и знаменатель дроби [m] \frac{2x-1}{2x+1}[/m] на 2х

[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{2x})^{x}}{(1+\frac{1}{2x})^{x}}=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{2x})^{2x\cdot \frac{1}{2}}}{(1+\frac{1}{2x})^{2x\cdot \frac{1}{2}}}=


\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=e^{-1}[/m]