Задача 30638 окружность с центром о, вписанная в...

zaviruha1961

2018-10-30 13:42:38

окружность с центром о, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, а катета АС - в точке N, АС<ВС. Прямые MN и СО пересекаются в точке К. Докажите, что угол CKN в два раза меньше угла АВС

sova

2018-10-30 16:09:36

★

O- точка пересечения биссектрис СО; ВО и АО.
∠ NCO=∠ DCO=45^(o);
∠ NBO=∠ DBO;
Обозначим α =∠ NBO=∠ DBO

В треугольнике АВС
∠ B=2*α ; ∠ A=90^(o)-2*α

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
Значит, AN=AM

Δ AMN - равнобедренный

∠ ANM=∠ AMN= (180^(o)- ∠A)/2= (180^(o)- (90^(o)-2*α))/2=

=(90^(o)+2α )/2=45^(o)+ α

∠ CNM - смежный с углом ∠ ANM
∠ СNM= 180^(o) - ∠ ANM= 180^(o)-(45^(o)+α )=135^(o)- α

В Δ NKC:
∠ СNM=135^(o)- α
∠ NCO=45^(o);

Значит ∠ СKN= 180^(o) - ∠ СNM - ∠ NCO= 180^(o) - (135^(o)- α )-45^(o)= α

∠ СKN= α =(1/2) ∠ АВС