Задача 34586 Помогите решить как можно быстрее...
Условие
Все решения
∂z/∂x=2x+y+1
∂z/∂y=2y+x-1
{∂z/∂x=0
{∂z/∂y=0
{2x+y+1=0 ( умножаем на 2)
{2y+x-1=0
{4x+2y+2=0
{2y+x-1=0
Вычитаем из первого второе
3х+3=0
х=-1
y=1-2x=1-2*(-1)=3
M (-1;3) - стационарная точка
∂^2z/∂x^2=2
∂^2z/∂x∂y=1
∂^2z/∂y^2=2
A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
B=∂^2z/∂x∂y (M) =2
C=∂^2z/∂y^2 (M)=1
Δ = AB-C^2=4-1=3 > 0; есть экстремум в точке (-1;3)
минимум, так как A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
z(-1;3)=1+9-3-1-3=3
4.
∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ
∂u/∂x=3z-2y^2z-4xyz^2-2
∂u/∂y=-4xyz -2x^2z^2+z
∂u/∂z=3x-2xy^2-4x^2yz+y
A(0;2;-1)
(∂u/∂x) (A)= -3-2*2^2*(-1)-4*0-2=3
(∂u/∂y) (A) =-4*0-2*0+(-1)=-1
(∂u/∂z) (A) =3*0-2*0-4*0+2=2
vector{AB}=(0-0;-1-2;-3-(-1))=(0;-3;-2)
|vector{AB}|=sqrt(0^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(13)
Направляющие косинусы вектора vector{MP}
cos α =0
cos β =-3/sqrt(13)
cos γ =-2/sqrt(13)
О т в е т.
∂u/∂(vector_{AB})(A)=(∂u/∂x) (A)*cos α +(∂u/∂y) (A)*cos β +(∂u/∂z) (A)*cos γ =
=3*0+(-1)*(-3/sqrt(13))+2*(-2/sqrt(13)) = -1/sqrt(13)
5.
Вращается треугольник АВС
y^2=x^3 ⇒ при y=1
x=1
A(1;1)
y^2=x^3 ⇒ при y=4
x^3=16
x=∛16
B( ∛16;4)
V_(оси Ох)=π ∫^( ∛16) _(1)x^3dx - V_(цилиндра)=
=π*(x^4/4)|^( ∛16) _(1)-π*r^2*h ( h=∛16 -1; r= 1)=
= [b](π/4)*((∛16)^4-1)-π*1^2*(∛16 -1)[/b]
можно упростить
(π/4)*((∛16)^2-1)*(∛16)^2-1)-π*1^2*(∛16 -1)=
=( [b]π[/b]/4)* [b]((∛16)-1)[/b]*((∛16)-1)*(∛16)^2-1)- [b]π*(∛16 -1)[/b]=
= [b]π*(∛16 -1)*(((∛16)+1)*(∛16)^2-1)/4 - 1)[/b]
