Задача 34578 Полное исследование функции , все ...
Условие
Решение
Область определения
(– ∞ :+ ∞ )
y`=x2+(x/3)–6
y`=0
x2+(x/3)–6=0
3x2+x–18=0
D=1–4·3·(–18)=217
x1=(–1–√217)/6 или х2=(–1+√217)/6
y`=x2+(x/3)–6 – квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между x1 и х1
Значит, на ((–1–√217)/6 ;(–1+√217)/6) функция убывает,
на (– ∞ ; (–1–√217)/6 ) и на ((–1+√217)/6; + ∞ ) функция возрастает
x=(–1–√217)/6 – точка максимума
х=(–1+√217)/6 – точка минимума
y``=2x+ (1/3)
y``=0
2x+(1/3)=0
2x=–1/3
x=–1/6
y`` < 0 на (– ∞;–1/6)
функция выпукла вверх
y`` >0 на (–1/6;+ ∞)
функция выпукла вниз
x=–1/6 – точка перегиба.
График см. на рис.
3.2
Область определения
(– ∞ ;–1)U(–1;+ ∞ )
x=–1 – вертикальная асимптота
так как
limx→–1–0f(x)= –∞
limx→–1+0f(x)= +∞
Горизонтальной асимптоты нет
limx→+∞f(x)=+∞
limx→–∞f(x)=–∞
Наклонная асимптота:
k=limx→∞f(x)/x=1
b=limx→∞(f(x)–x)=–8
y=x–8 – наклонная асимптота
y`=((x2–7x+1)`·(x+1)–(x2–7x+1)·(x+1)`)/(x+1)2
y`=((2x–7)·(x+1)–x2+7x–1)/(x+1)2
y`=(2x2–7x+2x–7–x2+7x–1)/(x+1)2
y`=(x2+2x–8)/(x+1)2
y`=0
x2+2x–8=0
D=2–4·(–8)=36
x1=(–2–6)/2=–4 или х2=(–2+6)/2=2
знак y` зависит от знака числителя, знаменатель в квадрате и значит положителен)
в числителе производной квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между (–4) и 2
Значит, на (–4 ; –1)и на (–1;2) функция убывает,
на (– ∞ ; –4) и на (2/6; + ∞ ) функция возрастает
x=–4 – точка максимума
х=2 – точка минимума
y``=(2x+2)·(x+1)2–2(x+1)·(x2+2x–8)/(х+1)4
y``=(x+1)((2x+2)·(x+1)–2x2–4x+16)/(x+1)4
y``=18/(x+1)3
y``<0 на (– ∞; –1)
кривая выпукла вверх
y``<0 на (–1;+ ∞)
кривая выпукла вниз
Точек перегиба нет.
