Задача 45051 Определить тип дифференциального...

vk576904411

2020-03-16 18:36:22

Определить тип дифференциального уравнения.
Если возможно, то подобрать замену, соответствующую типу уравнения. Замена упростит решение, появится возможность свести исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Не забудьте вернуться к исходным переменным.
Помните: в результате интегрирования дифференциального уравнения должно получиться семейство функций, зависящих от одной произвольной постоянной С.

sova

2020-03-19 09:39:23

★

Линейное неоднородное первого порядка
Делим на х

y`-(1/x)*y=x*sinx [red](#)[/red]

Решаем [i]однородное[/i]

y`-(1/x)*y=0

Это уравнение с [i]разделяющимися переменными[/i]:

dy/dx=y/x

dy/y=dx/x

∫ dy/y= ∫ dx/x

ln|y|=ln|x|+lnC

ln|y|=lnC*|x|

y=Cx

Применяем метод вариации произвольной С

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)*x`

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в [red](#)[/red]


C`(x)*x+C(x)-C(x)=x*sinx

C`(x)*x=x*sinx

C`(x)=sinx

C(x)= ∫ sinxdx=-cosx + c

О т в е т. y=C(x)*x=(-cosx + c)*x=[b]-x*cosx+cx[/b]