Задача 45051 Определить тип дифференциального...

vk576904411

16 марта 2020 г. в 18:36

Определить тип дифференциального уравнения.
Если возможно, то подобрать замену, соответствующую типу уравнения. Замена упростит решение, появится возможность свести исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Не забудьте вернуться к исходным переменным.
Помните: в результате интегрирования дифференциального уравнения должно получиться семейство функций, зависящих от одной произвольной постоянной С.

sova

19 марта 2020 г. в 09:39

★

Линейное неоднородное первого порядка
Делим на х

y`–(1/x)·y=x·sinx (#)

Решаем однородное

y`–(1/x)·y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными:

dy/dx=y/x

dy/y=dx/x

∫ dy/y= ∫ dx/x

ln|y|=ln|x|+lnC

ln|y|=lnC·|x|

y=Cx

Применяем метод вариации произвольной С

y=C(x)·x

y`=C`(x)·x+C(x)·x`

y`=C`(x)·x+C(x)

Подставляем в (#)


C`(x)·x+C(x)–C(x)=x·sinx

C`(x)·x=x·sinx

C`(x)=sinx

C(x)= ∫ sinxdx=–cosx + c

О т в е т. y=C(x)·x=(–cosx + c)·x=–x·cosx+cx