Задача 43273 Найдите все значения параметра a, при...

diana101

2020-01-08 13:04:25

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(|x+1|+|x-a|)^2-2(|x+1|+|x-a|)+4a(1-a)=0
имеет ровно два корня

sova

2020-01-08 17:00:48

Замена переменной:
|x+1|+|x-a|=t
[red]t ≥ 0[/red]
(|x+1|+|x-a|)^2=t^2

Получаем квадратное уравнение:
t^2-2t+4a(1-a)=0

D=(-2)^2-4*4a*(1-a)=4-16a+16a^2=4*(4a^2-4a+1)=4*(2a-1)^2 ≥ 0

При a=1/2
D=0

уравнение имеет один корень

t=[green]1[/green]

Обратный переход:

|x+1|+|x-a|=[green]1[/green]

Переформулируем вопрос:

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два корня:

|x+1|+|x-a|=[green]1[/green]

или

|x-a|=1-|x+1|

Решаем графически

y=1-|x+1|

y=|x-a|

cм. графики на рис.

О т в е т. [b](-2;0)[/b]

При D>0 уравнение имеет два корня, надо определить условие, при которых корни оба положительны или один положительный, второй отрицательный.

И далее смотреть в каком случае обратный переход приведет к двум корням