Задача 9514 В июле планируется взять кредит в банке...

faber.gal

22.06.2016

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 3,85 млн рублей?

SOVA

22.06.2016

★

Пусть в банке берут А рублей, r% – процентная ставка, n–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый год 0,01•r•А (т.к. кредит взят на n лет и сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй год 0,01• r•(А–А/n)=0,01•r•A•(n–1)/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на 1/n)
…
за n–ый год 0,01•r•A•(n–(n-1))/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на (1/n) •(n-1)=(n-1)/n.
Это и будет наименьшая выплата.
Тогда через n лет придется вернуть всю взятую сумму
n •(А/n)=A
и проценты, т.е.

0,01•r•А+0,01•r•A•(n–1)/n+…+0,01•r•A•(n–(n-1))/n=0,01r•А(1+((n-1)/n)+((n-2)/n)+… (1/n))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму n слагаемых от 1 до n по формуле суммы арифметической прогрессии.

В условиях данной задачи:А=14 млн. руб.; кредит взят на n лет.
10% от 14 млн рублей это 0,1*14=1,4 млн. руб
На 1 января долг составит 1,1*14=15,4млн. руб.
До 1 июля происходит выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на n лет выплат и проценты за год, т.е. выплата составит ((14/n)+1,4 ) млн. руб.
После чего сумма долга составит
15,4-((14/n)+1,4 )=(14-(14/n)) млн. руб
На 1 января долг вновь вырастет на 10% и составит 1,1* (14-(14/n)) млн. руб.
До 1 июля происходит выплата.
Выплачиваем (14/n) млн. руб. и проценты за второй год,
т.е. выплата составит ((14/n)+(0,1*(14 – (14)/n ) )млн. руб.
третий год
выплачиваем (14/n + 0,1*(14- (14/n)-(14/n))= (14/n) + 0,1*(14-2* (14/n))
.........
За последний год
(14/n) + 0,1*(14 -(n-1)* (14/n))=14/n+0,1*(14/n)- это и есть наименьший годовой платеж.
1,1*(14/n) млн.=3,85 млн
n=4
Общая сумма выплат равна
(14/4)*4 +0,1*14(1+1/4+2/4+3/4)=14+1,4*(1+2+3+4)/4=
=14+1,4*(10/4)=14+3,5=17,5 млн. руб.
О т в е т. 17,5 млн. руб.

Сумму кредита 14:4=3,5 млн руб должны выплачивать каждый год.
Плюс проценты.
За первый год со всей суммы в 14 млн. Процент составит 1,4 млн. рублей.
За второй год, процент считаем не со всей суммы, а с учетом выплаченных 3,5 млн.
Получаем 0,1*(14-3,5)=1,05 млн.
За третий год
0,1*(14-2*3,5)=0,1*7=0,7 млн.
За четвертый год
0,1*(14-3*3,5)=0,35.
Выплаты 14 +1,4+1,05+).7+0,35=17,5 млн. руб.
Вот такая схема и удовлетворяет условию, каждый раз долг должен быть на одну и ту же сумму меньше. А именно на проценты с выплаченной суммы 0,1*3.5=0,35.
Сравните 1,4; 1,05;0,7; 0,35.