Задача 13651 ...
Условие
б) Найти натуральное число n такое, что x0 принадлежит (lg2/(n+1); lg2/n), где x0 - корень уравнения.
Решение
{x > 0, x≠1
{log_(sqrt(x))5x > 0 ⇒(sqrt(x)-1)*(5x-1) > 0
ОДЗ: х∈(0;1/5)U(1;+ ∞)
Замена переменной
log_(5)x=t
log_(sqrt(x))(5x)=2log_(x)(5x)=2*(log_(x)5+log_(x)x)=
=2log_(x)5+2=(2/t)+2
Уравнение принимает вид
sqrt((2/t)+2)*t=-2.
Возводим в квадрат при условии: t < 0
(так как sqrt(log_(sqrt(x)5x) ) > 0, а произведение отрицательно, то значит t < 0)
(2+2t)*t^2/t=4;
2t^2+2t-4=0
t^2+t-2=0
D=1-4*(-2)=9
t1=(-1-3)/2=-2 или t2=(-1+3)/2=1- не удовл усл. t < 0
log_(5)x=-2
x=5^(-2)
x=1/25
б)
(lg2/(n+1)) < 1/25 < (lg2/n)⇒
{1/25 < (lg2/n) ⇒ n < 25 lg2
{(lg2/(n+1)) < 1/25 ⇒n > (25*lg2)-1
lg2=log_(2)2/log_(2)10=1/(log_(2)2+log_(2)5)=1/(1+log_(2)5)
log_(2)4 < log_(2)5 < log_(2)8
2 < log_(2)5 < 3
3 < 1+log_(2)5 < 4
1/4 < 1/(1+log_(2)5) < 1/3
1/4 < lg 2 < 1/3
(lg2/(n+1)) < 1/25 < (lg2/n)⇒
(25lg2/(n+1)) < 1 < (25lg2/n)
n=7
О т в е т. а) 1/25; б) 7