Задача 52785 Решите неравенство: log^2_3 (16 - x^2) -...

tunerokk

30 июня 2020 г. в 22:13

Решите неравенство: log²₃ (16 – x²) – 9 log₃ (16 – x²) + 8 >= 0.

sova

2 июля 2020 г. в 16:45

ОДЗ:
16–x² >0 ⇒ –4 < x < 4

Замена переменной:

log₃(16–x²)=t

Неравенство:

t²–9t+8 ≥ 0 ⇔ (t–1)(t–8) ≥ 0 ⇒ t ≤ 1 или t ≥ 8

Обратный переход:
log₃(16–x²) ≤ 1 или log₃(16–x²) ≥ 8

log₃(16–x²) ≤ log₃3 или log₃(16–x²) ≥log₃8³

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому:
(16–x²) ≤ 3 или (16–x²) ≥8³

13–x² ≤0 или (16–x²) ≥8³ ⇒–(x²+496) ≥ 0 – не имеет корней

13–x² ≤0 ⇒ –√13 ≤ x ≤ √13 – входит в ОДЗ

О т в е т. [–√13; √13]