Задача 45144 [m] \left\{ \begin{array}{l} \frac{8^x...

nikolay179540

19 марта 2020 г. в 23:30

[m] \left\{ \begin{array}{l}
\frac{8^x - 5 \cdot 2^x}{2^x - 2^{4 - x}} \geq 0, \\
\log_{x^2} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x} \right) \leq 0.
\end{array} \right. [/m]

sova

20 марта 2020 г. в 00:01

★

Решаем первое неравенство:

[m]\frac{2^{3x}-5\cdot 2^{x}}{2^{x}-\frac{2^4}{2^{x}}}\geq 0[/m]

[m]\frac{((2^{x})^2-5)\cdot (2^{x})^2}{(2^{x})^2-16}\geq 0[/m]

[m]\frac{(2^{x}-\sqrt{5})(2^{x}+\sqrt{5})\cdot (2^{x})^2}{(2^{x}-4)(2^{x}+4)}\geq 0[/m]


2^x >0 при любом х

(2^x)² >0 при любом х

2^x+4 >0 при любом х

2^x+√5 > 0 при любом х

[m]\frac{2^{x}-\sqrt{5}}{2^{x}-4}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов
2^x–√5=0

2^x=√5

x=log₂√5

2^x–4=0

2^x=2²

x=2

__+____ [log₂√5] ___–___ (2) _+___

1=log₂2 < log₂√5 < log₂4=2

(– ∞ ;log₂√5]U (2;+ ∞ )

Решаем второе неравенство:

ОДЗ:
{x²>0
{x² ≠ 1
{(2/x²)–(1/x)>0 ⇒ (2–x)/x²>0 ⇒ x<2

x ∈ (– ∞ ;–1)U(–1;0) U(0;1)U(1;2)

Применяем метод рационализации:
(x²–1)·((2/x²)–(1/x)–1) ≤ 0

(x–1)(x+1)(–x²–x+2) ≤ 0

(x–1)(x+1)(x²+x–2) ≥ 0

(x–1)(x+1)(x–1)(x+2) ≥ 0

(х–1)²(x+1)(x+2) ≥ 0

Решаем методом интервалов

+____ [–2] ____–___ [–1] ___+___ [1] __+__

x ∈ (– ∞ ;–2] U[–1;+ ∞ )

c учетом ОДЗ этого уравнения

x ∈ (– ∞ ;–2] U(–1;0)U(0;1) U(1;2)

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств и есть ответ:

x ∈ (– ∞ ;–2) U(–1;0)U(0;1) U(1;log₂√5]