Задача 39535 Для заданной функции провести...

robertfrelikh

17 сентября 2019 г. в 08:43

Для заданной функции провести исследование : точки минимума, максимума, точки перегиба; интервалы возрастания , убывания функции ; интервалы выпуклости и вогнутости функции . Построить график функции . На графике функции указать особые точки – точки экстремума , точки перегиба. Построение выполнить схематично.
y=x³–18x²+33x+7

sova

17 сентября 2019 г. в 09:10

★

y=x³–18x²+33х+7

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=3x²–36x+33

y`=0
3x²–36x+33=0

x²–12x+11=0

D=(–12)²–4·11=144–44=100

x=[m]\frac{12\pm10}{2}[/m]

x₁=1; x₂=11

Расставляем знак производной ( y`=3x²–36x+33 – графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (1;11) производная отрицательна, на двух остальных – положительна):

__+__ (1) __–___ (11) __+__

y`>0 на (– ∞ ;1) и на (11;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (1 ;11), значит функция убывает возрастает

х=1 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

у(1)=1³–18·1²+33·1+7=13

х=11 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y(11)=11³–18·11²+33·11+7= 11²·11–18·11²+3·11²+7=
=11²(11–18+3)+7=121·(–4)+7=–484+7=–477


(просматривается цель заданий – рациональный счет!!! Т.е. уже не первое задание в котором громоздкие вычисления упрощаются с помощью вынесения за скобки общего множителя)
По этой и причине и график схематический. См. масштаб 1 кл=20

y``=6x–36

y``=0

6x–36=0

x=6– точка перегиба, вторая производная меняет знак с – на +

Функция выпукла вверх на ( – ∞ ;6) и выпукла вниз на (6;+ ∞ )
См. график на рис .