Задача 33922 а) Решите уравнение:...

vk505156332

2019-02-26 16:33:05

а) Решите уравнение: 4cos2x=2cos(Pi/2-x)+1

б) Выполните отбор корней: [-3Pi/2; Pi/2]

sova

2019-02-26 19:21:31

4cos2x=2cos((π/2)–x)+1;

По формулам приведения
cos((π/2)–x)=sinx

По формулам двойного угла
cos2x=1-2sin^2x

4*(1-2sin^2x)=2sinx+1;

8sin^2x+2sinx-3=0

Квадратное уравнение относительно синуса.
Замена переменной
sinx=t

8t^2+2t-3=0
D=4-4*8*(-3)=100
t_(1)=(-2-10)/8=-12/16=-3/4 или t_(2)=(-2+10)/16=1/2

Обратный переход

sinx=-3/4
x=(-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, k ∈ Z

или

sinx=1/2

x=(-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, (-1)^(n)*(π/6)+πn, k, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни

х=(5π/6)-2π=-7π/6
х= -π+arcsin(3/4)
х=-arcsin(3/4)
x=π/6