Задача 45380 найти объем тела образованного вращением...

vk229129367

2020-03-26 11:18:21

найти объем тела образованного вращением фигуры ограниченной линиями

sova

2020-03-26 11:41:48

V=π ∫ ^(b)_(a)(f^2(x)-g^2(x))dx

x^2+(y-1)^2=1 ⇒ y-2= ± sqrt(1-x^2)

y=2 ± sqrt(1-x^2)

f(x)=2+sqrt(1-x^2)

g(x)=2-sqrt(1-x^2)

f^2(x)-g^2(x)=(2+sqrt(1-x^2))^2-(2-sqrt(1-x^2))^2=

=(2+sqrt(1-x^2)-2+sqrt(1-x^2))*(2+sqrt(1-x^2)+2-sqrt(1-x^2))

=8sqrt(1-x^2)

a=-1; b=1, можно взять
a=0; b=1 и умножить вычисленное значение интеграла на 2



V=2π ∫ ^(1)_(0)(8*sqrt(1-x^2))dx=( cм. табличный интеграл 17)

=16π*((1/2)х*sqrt(1-x^2)+(1/2)arcsinx)|^(1)_(0)=

=8π*1*sqrt(0)-8π*0*sqrt(1)+8πarcsin1-8πarcsin0=8π*(π/2)=4π^2