Задача 46717 Вычислить объём тела, заданного...

vk403177433

2020-04-11 17:23:49

Вычислить объём тела, заданного представленными уравнениями,
используя его поперечные сечения
x=4+sqrt(y^(2)+2z^(2)); x=5

sova

2020-04-11 18:05:13

★

x=4+sqrt(y^2+2z^2) ⇒ (x-4)^2=y^2+2z^2

Каноническое уравнение [b]конуса:[/b]

[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/m]

с вершиной (0;0) с осью Оz

Поверхность
y^2+2z^2-(x-4)^2=0 - конус c осью Ох, с вершиной (4;0;0)

Пересечем эту поверхность плоскостью x=x_(o)

4 < x_(o) < 5

Получим эллипс:

y^2+2z^2=(x_(o)-4)^2

или
[m]\frac{y^2}{(x_{o}-4)^2}+\frac{z^2}{\frac{(x_{o}-4)^2}{2}}=1[/m]

Так как

[r][m]\frac{x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1[/m]

S_(эллипса)=π*a*b[/r]

Площадь сечения

S_(x_(o))=π *[m](x_{o}-4)\frac{(x_{o}-4)}{\sqrt{2}}[/m]


Значит

S(x)=π *(x-4)*[m]\frac{(x-4)}{\sqrt{2}}[/m]



V= ∫ ^(5)_(4)π [m]\frac{(x-4)^2}{\sqrt{2}}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\frac{(x-4)^3}{3}|^{5}_{4}=[/m]