R=СM= sqrt((3-1)^2+(4-3)^2)=sqrt(5)
Так как треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, то CМ-медиана и значит, высота
Уравнение CМ:y=kx+b
С(1;3); M(3;4)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b
3=1k+b
4=3k+b
-1=-2k
k=1/2
b=3-k=3-(1/2)=5/2
[b]y=(1/2)x+(5/2)[/b]
АВ ⊥ СМ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
[b]k_(CM)*k_(AB)=-1[/b]
k_(AB)=-2
y=-2x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ
Так как точка M ∈ AB, подставим координаты точки М, найдём b
4=-2*3+b
[b]b=10[/b]
у=-2х+10 - уравнение прямой АВ.
Окружность с центром в точке M и радиусом R=sqrt(5) пересекается с прямой АВ в точках А и B
Найдем координаты точки А и В из системы уравнений:
{y=-2x+10
{(x-3)^2+(y-4)^2=5
(x-3)^2+(-2x+10-4)^2=5 ⇒ x^2-6x+8=0
x_(1)=2; x_(2)=4
y_(1)=-2*2+10=6; y_(2)=-2*4+10=2
A(2;6) B(4;2)
С(1;3)
Уравнение АC: y=kx+b
A(2;6);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b
6=k*2+b
3=k*1+b
⇒ k=3
b=0
[b]y=3x[/b]
Уравнение BC: y=kx+b
B(4;2);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b
2=k*4+b
3=k*1+b
⇒ 3k=-1
k=-1/3
b=10/3
[b]y=(-1/3)x+(10/3)[/b]