Задача 35008 Дана вершина прямого угла С ( 1, 3 ) в...

vk116113879

2019-03-27 16:36:05

Дана вершина прямого угла С ( 1, 3 ) в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Центр его описанного круга М ( 3,4 ) . Написать уравнения катетов.

sova

2019-03-27 17:09:44

★

MA=MB=MC=R
R=СM= sqrt((3-1)^2+(4-3)^2)=sqrt(5)

Так как треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, то CМ-медиана и значит, высота


Уравнение CМ:y=kx+b
С(1;3); M(3;4)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

3=1k+b
4=3k+b
-1=-2k
k=1/2
b=3-k=3-(1/2)=5/2

[b]y=(1/2)x+(5/2)[/b]


АВ ⊥ СМ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

[b]k_(CM)*k_(AB)=-1[/b]

k_(AB)=-2

y=-2x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ

Так как точка M ∈ AB, подставим координаты точки М, найдём b

4=-2*3+b

[b]b=10[/b]

у=-2х+10 - уравнение прямой АВ.

Окружность с центром в точке M и радиусом R=sqrt(5) пересекается с прямой АВ в точках А и B

Найдем координаты точки А и В из системы уравнений:
{y=-2x+10
{(x-3)^2+(y-4)^2=5

(x-3)^2+(-2x+10-4)^2=5 ⇒ x^2-6x+8=0
x_(1)=2; x_(2)=4
y_(1)=-2*2+10=6; y_(2)=-2*4+10=2

A(2;6) B(4;2)

С(1;3)

Уравнение АC: y=kx+b
A(2;6);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

6=k*2+b
3=k*1+b
⇒ k=3
b=0
[b]y=3x[/b]

Уравнение BC: y=kx+b
B(4;2);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

2=k*4+b
3=k*1+b
⇒ 3k=-1
k=-1/3
b=10/3
[b]y=(-1/3)x+(10/3)[/b]