а) Докажите, что CN является высотой треугольника CDF.
б) Найдите отрезок CN, если AC = 1, BC = 4. [16п6]
ACDE- квадрат ⇒ ∠ ACD=90 ° и АС=DC
BCFG- квадрат ⇒ ∠ BCF=90 ° и BС=CF
∠ АCB=90 °
Значит ∠ FCD=90 °
Прямоугольные треугольники СDF и ABC равны по двум катетам.
АС=DC =4
BС=CF=1
Значит и соответствующие углы в этих треугольниках равны
∠ BAC= ∠ CDF= ∠ 1 ( расположены против сторон ВС и СF)
∠ ABC= ∠ DFC= ∠ 2 ( расположены против сторон AD и DC)
∠ВАС= ∠ MСA= ∠ 1, так как медиана СМ прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы и Δ АМС - равнобедренный
Аналогично
∠МВС= ∠ МСВ= ∠ 2.
∠ FCN=∠ МCA= ∠ 1 как вертикальные
Значит ∠ FCN+ ∠ CFN= ∠ 1+ ∠ 2 = 90 ° ⇒ ∠ СNF=90 °
и СN ⊥ DF
По теореме Пифагора:
DF^2=DС^2+СF^2=1^2+4^2=17
Так как
S_( ΔDFC)=(1/2)DF*CN и S (ΔDFC)=(1/2)DC*CF, то
DF*CN=DC*CF
СN=1*4/sqrt(17)=[b]4sqrt(17)/17[/b]
О т в е т. [b]4sqrt(17)/17[/b]