Задача 45627 Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое...

slava191

30 марта 2020 г. в 13:15

Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках M и N.

а) Докажите, что MD = CN.
б) Найдите стороны параллелограмма, если MN = 12. [16п8]

sova

30 марта 2020 г. в 15:07

★

О т в е т. 4 и 8
Решение.

Пусть АВ=х; тогда BC=2x

Δ АBF – равнобедренный
∠ BAK= ∠ KAD – так как АК – биссектриса
∠BKP= ∠ KAD – внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей AK

По свойству транзитивности:
∠BKP= ∠ BAK

Тогда ВК=х; KC=x

∠ АВС= ∠ КСN – внутренние накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BC
∠ ВКA= ∠ NKC как вертикальные
Δ АВK= Δ KCN по стороне и двум прилежащим к ней углам.

⇒ AB=BC=KC=CN=x

∠ ВAF= ∠ FDM – внутренние накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AD
∠ ВFA= ∠ DFM как вертикальные
Δ AВF= Δ FDM по стороне (AF=FD=x) и двум прилежащим к ней углам.

⇒ AB=AF=FD=DM=x

MN=MD+DC+CN=x+x+x

По условию MN = 12

x+x+x=12

3x=12

x=4


2х=2·4=8

О т в е т. 4 и 8