Задача 18115 Найдите точку минимума функции...

slava191

10 ноября 2017 г. в 00:00

Найдите точку минимума функции

y=(4–5x)cosx+5sinx+17,

принадлежащую промежутку (0; π/2).

SOVA

10 ноября 2017 г. в 00:00

★

Находим производную
y`=(4–5x)`·cosx+(4–5x)·(cosx)`+5·(sinx)`+(17)`;
y`=–5cosx+(4–5x)(–sinx)+5·(cosx)+0
y`=–(4–5x)sinx

y`=0
4–5x=0 или sinx=0
x=0,8 или x=πk, k ∈ Z

Указанному интервалу принадлежит точка х=0,8

Исследуем знак производной при переходе через эту точку

при х=π/6
( π/6 < 0,8)
y`=–(4–5·(π/6))sin(π/6) < 0
при х=π/3
(π/3 > 1 > 0,8)
y`=–(4–5·(π/3))sin(π/3) > 0

0,8 – точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с – на +