Задача 29457 6.7) log3((x+2)(x-2)) =...

slava191

2018-09-04 20:35:48

6.7) log3((x+2)(x-2)) = 4log9(2x+3)-log(sqrt(5))5

sova

2018-09-04 21:21:23

★

ОДЗ:
{(x+2)(x-2)>0 ⇒ (- ∞;-2)U(2;+ ∞ )
{2x+3>0 ⇒ (-1,5;+ ∞ )

ОДЗ: х ∈ (2;+ ∞ )

По формуле log_(a^(n))b=(1/n)log_(a)b,
где a>0; b>0; a≠ 1

log_(9)(2x+3)=log_(3^(2))(2x+3)=(1/2)log_(3)(2x+3)

log_(sqrt(5))5=2

Уравнение принимает вид

log_(3)((x+2)(x-2))=2log_(3)(2x+3) - 2

log_(3)((x+2)(x-2)) + 2 = 2log_(3)(2x+3)
Так как
2=log_(3)9;

2log_(3)(2x+3)=log_(3)(2x+3)^2,
то
log_(3)((x+2)(x-2))+log_(3)9=log_(3)(2x+3)^2

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(3)(9*(x+2)(x-2))=log_(3)(2x+3)^2

Применяем свойство монотонности логарифмической функции:
монотонно возрастающая ( или убывающая) функция каждое свое значение принимает один раз.
Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:

9*(x+2)(x-2)=(2x+3)^2

9x^2-36=4x^2+12x +9;

5x^2 - 12x -45=0

D=(-12)^2-4*5*(-45)=144+900=1044

sqrt(D)=2sqrt(261)

x_(1)=(12-2sqrt(261))/10 или х_(2)=(12+2sqrt(261))/10

x_(1)=(6-sqrt(261))/5 или х_(2)=(6+sqrt(261))/5

x_(1) < 0 и не удовлетворяет ОДЗ

x_(2) > 2 и входит в ОДЗ

О т в е т. (6+sqrt(261))/5