✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 28094 9.56. Зная медианы треугольника, найдите

УСЛОВИЕ:

9.56. Зная медианы треугольника, найдите его площадь.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S (Δ ABH)= S( ΔBCH)

S( ΔАОС)=(1/3) S ( Δ АВС)

S (Δ AОH)= S( ΔCОH)

S( ΔАОН)=(1/6) S ( Δ АВС)

Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

[b] Дополнительное построение [/b]

Продолжим медиану AF за точку F на (1/3) ёё длины.

Получим параллелограмм ОВКС,
S(ОВКС)=2S(Δ ОВК)

S(Δ ОВК)=(2/6)S(Δ AВC)

Значит, площадь треугольника АВС найдем, зная площадь треугольника ОВК.

ОВ=(2/3)m_(b)
ВК=(2/3) m_(с)
ОК=(2/3)m_(a)

В треугольнике ОВК известны все стороны.
Значит можно найти площадь по формуле Герона

p=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))
р-а=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)a=
(1/3)((m_(b)+m_(c)-m_(a))
p-b=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(b)=
=(1/3)(m_(a)-m_(b)+m_(c))
p-c=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(c)=
=(1/3)(m_(a)+m_(b)-m_(c))

S( Δ ОВК) =(1/9)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

Пусть
(m_(a)+m_(b)+m_(c))/2=m, тогда
m_(a)+m_(b)+m_(c)=2m
m_(a)+m_(b)-m_(c)=2*(m-m_(c))
m_(a)+m_(c)-m_(b)=2*(m-m_(b))
m_(b)+m_(c)-m_(a)=2*(m-m_(a))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))=
=(4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))

О т в е т. (4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))
Так формула лучше просматривается, есть сходство с формулой Герона.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1740 ⌚ 29.05.2018. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52030
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52031
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 51996
S_(кольца)=S_(большого круга)-S_(малого круга)

S_(круга)=π*R^2

R=4

r=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)


S_(кольца)=π*R^2-π*r^2=π*4^2-π*(sqrt(5))^2=16π-5π=[b]11π[/b]

О т в е т. 11
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52028
Y=5X+3 ⇒

y_(1)=5x_(1)+3=5*(-2)+3=-10+3=-7

y_(2)=5x_(2)+3=5*(-1)+3=-5+3=-2

y_(3)=5x_(3)+3=5*0+3=0+3=3

y_(4)=5x_(4)+3=5*1+3=5+3=8

y_(5)=5x_(5)+3=5*2+3=10+3=13

(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52025