✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 28094 9.56. Зная медианы треугольника, найдите

УСЛОВИЕ:

9.56. Зная медианы треугольника, найдите его площадь.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S (Δ ABH)= S( ΔBCH)

S( ΔАОС)=(1/3) S ( Δ АВС)

S (Δ AОH)= S( ΔCОH)

S( ΔАОН)=(1/6) S ( Δ АВС)

Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

[b] Дополнительное построение [/b]

Продолжим медиану AF за точку F на (1/3) ёё длины.

Получим параллелограмм ОВКС,
S(ОВКС)=2S(Δ ОВК)

S(Δ ОВК)=(2/6)S(Δ AВC)

Значит, площадь треугольника АВС найдем, зная площадь треугольника ОВК.

ОВ=(2/3)m_(b)
ВК=(2/3) m_(с)
ОК=(2/3)m_(a)

В треугольнике ОВК известны все стороны.
Значит можно найти площадь по формуле Герона

p=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))
р-а=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)a=
(1/3)((m_(b)+m_(c)-m_(a))
p-b=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(b)=
=(1/3)(m_(a)-m_(b)+m_(c))
p-c=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(c)=
=(1/3)(m_(a)+m_(b)-m_(c))

S( Δ ОВК) =(1/9)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

Пусть
(m_(a)+m_(b)+m_(c))/2=m, тогда
m_(a)+m_(b)+m_(c)=2m
m_(a)+m_(b)-m_(c)=2*(m-m_(c))
m_(a)+m_(c)-m_(b)=2*(m-m_(b))
m_(b)+m_(c)-m_(a)=2*(m-m_(a))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))=
=(4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))

О т в е т. (4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))
Так формула лучше просматривается, есть сходство с формулой Герона.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Добавил slava191, просмотры: ☺ 988 ⌚ 29.05.2018. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Лучший ответ к заданию выводится как основной
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40831
Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(–6;–8):
-8=k*(-6)+b
Подставляем координаты точки В(–1;–7):
-7=k*(-1)+b

Решаем систему двух уравнений:
{-8=k*(-6)+b
{-7=k*(-1)+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{-1=-5k ⇒ k=\frac{1}{5}
{-7=k*(-1)+b

b=-k+7=-\frac{1}{5}+7=-\frac{34}{5}

О т в е т. y=\frac{1}{5}x-\frac{34}{5 или 5y=x-34 ⇒ x-5y-34=0

✎ к задаче 40842
Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(4;4):
4=k*4+b
Подставляем координаты точки В(2;1):
1=k*2+b

Решаем систему двух уравнений:
{4=k*4+b
{1=k*2+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{3=k*2 ⇒ k=\frac{3}{2}
{1=k*2+b
b=1-2k=1-3=-2

О т в е т. y=\frac{3}{2}x-2 или 2y=3x-4 ⇒ 3x-2y-4=0

✎ к задаче 40845
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40845
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40844