Задача 30423 Решить неравенство [m]\log^2_5...
Условие
[m]\log^2_5 \frac{(x-4)^2(x-3)}{48} > \log^2_{0,2} \frac{x-3}{3}[/m]
Все решения
{(x-3)/3 > 0 ⇒ x > 3
{((x-4)^2*(x-3)/48)>0 ⇒ при x > 3 ⇒ x ≠ 4
ОДЗ: [b]х ∈ (3;4)U(4;+ ∞ )[/b]
[m]log_{0,2}\frac{x-3}{3}=\frac{log_{5}\frac{x-3}{3}}{log_{5}0,2}= -log_{5}\frac{x-3}{3}[/m]
[m]log^2_{0,2}\frac{x-3}{3}=\frac {log_{5}\frac{x-3}{3}}{log_{5}0,2}= (-log_{5}\frac{x-3}{3})^2=
log^2_{5}\frac{x-3}{3}[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log^2_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}>log^2_{5}\frac{x-3}{3}[/m]
[m]log^2_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}-log^2_{5}\frac{x-3}{3}>0[/m]
Раскладываем на множители:
[m](log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}-log_{5}\frac{x-3}{3})(log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}+log_{5}\frac{x-3}{3})>0[/m]
Разность логарифмов заменим логарифмом частного, cумму логарифмов - логарифмом произведения:
[m]log_{5}\frac{(х-4)^2}{16}\cdot log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)^2}{144} > 0[/m]
[b]Применяем метод рационализации логарифмических неравенств[/b]:
[m](\frac{(x-4)^2}{16}-1)\cdot(\frac{ (x-4)^2(x-3)^2}{144} -1)>0[/m]
[m](x-4-4)(x-4+4)((x-4)(x-3)-12)((x-4)(x-3)+12) >0[/m]
[m](x-8)\cdot x \cdot (x^2-7x)(x^2-7x+24) >0[/m]
[m](x-8)\cdot x^2 \cdot (x-7)>0[/m]
x^2-7x+24 > 0 при любом х, так как D=(-7)^2-4*24 < 0
__+__ (0) _______+_______ (7) __-__ (8) __+__
(- ∞ ;0) U(0;7) U(8;+ ∞ )
с учетом ОДЗ
О т в е т. (3;4)U(4;7)U(8;+ ∞ )
