Задача 20490 ...

slava191

12 июня 2017 г. в 00:00

а) Решите уравнение (cos3x+sinx)² + (sin3x+cosx)² = 3.

б) Найдите решения, принадлежащие отрезку [–π/3; π]

SOVA

12 июня 2017 г. в 00:00

★

(cos3x+sinx)² + (sin3x+cosx)² =3
Раскрываем скобки
cos²3x+2cos3x·sinx+sin²x+sin²3x+2sin3x·cosx+cos²x=3
Так как
сos²3x+sin²3x=1
cos²x+sin²x=1,
то
уравнение принимает вид
2cos3x·sinx+2sin3x·cosx=1
Применяем формулу
sin α ·cos β =(1/2)·(sin( α + β)+sin( α –β ))
sin4x+sin(–2x)+sin4x+sin2x=1
sin(–2x)=–sin2x

2sin4x=1
sin4x=1/2
4x=(π/6)+2πk, k ∈ Z или 4x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z или
x=(π/24)+(π/2)k, k ∈ Z или х=(5π/24)+(π/2)·n, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
х=(5π/24)–(π/2)=–7π/24 > –π/3=–8π/24
x=π/24
x=5π/24
x=(π/24)+(π/2)=13π/24
x=(5π/24)+(π/2)=17π/24

О т в е т.

а)(π/24)+(π/2)k,(5π/24)+(π/2)·n, k,n ∈ Z

б)(–7π/24)∈ [–π/3; π]
(π/24)∈ [–π/3; π]
(5π/24)∈ [–π/3; π]
(13π/24)∈ [–π/3; π]
(17π/24)∈ [–π/3; π]