Задача 20490 ...
Условие
б) Найдите решения, принадлежащие отрезку [-Pi/3; Pi]
Решение
Раскрываем скобки
cos^23x+2cos3x*sinx+sin^2x+sin^23x+2sin3x*cosx+cos^2x=3
Так как
сos^23x+sin^23x=1
cos^2x+sin^2x=1,
то
уравнение принимает вид
2cos3x*sinx+2sin3x*cosx=1
Применяем формулу
sin альфа *cos бета =(1/2)*(sin( альфа + бета)+sin( альфа -бета ))
sin4x+sin(-2x)+sin4x+sin2x=1
sin(-2x)=-sin2x
2sin4x=1
sin4x=1/2
4x=(Pi/6)+2Pik, k ∈ Z или 4x=(5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z или
x=(Pi/24)+(Pi/2)k, k ∈ Z или х=(5Pi/24)+(Pi/2)*n, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни:
х=(5Pi/24)-(Pi/2)=-7Pi/24 > –π/3=-8π/24
x=Pi/24
x=5Pi/24
x=(Pi/24)+(Pi/2)=13Pi/24
x=(5Pi/24)+(Pi/2)=17Pi/24
О т в е т.
а)(Pi/24)+(Pi/2)k,(5Pi/24)+(Pi/2)*n, k,n ∈ Z
б)(-7Pi/24)∈ [–π/3; π]
(Pi/24)∈ [–π/3; π]
(5Pi/24)∈ [–π/3; π]
(13Pi/24)∈ [–π/3; π]
(17Pi/24)∈ [–π/3; π]